Question

【題目】做功與路徑無關(guān)的力場叫做“勢場”，例如引力場和電場。在這類場中可以引入“場強(qiáng)”和“勢能”的概念來分別描述勢場中力和能的性質(zhì)。可以類比電場強(qiáng)度的定義，將質(zhì)點放在引力場中所受到的引力與質(zhì)量的比值定義為引力場的場強(qiáng)。

如圖甲所示為某勢場的場強(qiáng)E的大小隨x的分布，圖中E0為已知量。在該勢場中，一個質(zhì)點僅在場力作用下，以x = 0為中心，沿x軸做周期性運(yùn)動。已知質(zhì)點的質(zhì)量為m，受到的場力可表示為F = kE（k為常量），場力方向平行于x軸。取x = 0點為O點。

（1）請從力和加速度的角度，分析說明質(zhì)點在區(qū)域和區(qū)域的運(yùn)動性質(zhì)；

（2）功是能量轉(zhuǎn)化的量度，場力做功引起勢能的變化。取O點為零勢能點。

a．請推導(dǎo)出勢能Ep與x的關(guān)系式，并在圖乙中畫出勢能Ep隨x變化的示意圖。

b．已知質(zhì)點的總能量為A，求質(zhì)點與O點間距離為x0（x0在運(yùn)動區(qū)間內(nèi)）時，質(zhì)點的動能Ek。

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)域，質(zhì)點受到的場力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，質(zhì)點做勻變速直線運(yùn)動。

在區(qū)域，質(zhì)點受到的場力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，質(zhì)點做勻變速直線運(yùn)動。

（2）a．如圖所示：

b．

【解析】

（1）根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，從而判斷運(yùn)動情況；

（2）根據(jù)功能關(guān)系判斷勢能Ep隨x變化；

（3）根據(jù)能量守恒來求解動能；

（1）根據(jù)題意，質(zhì)點在場中受到的場力方向指向O點。

在區(qū)域，質(zhì)點受到的場力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，質(zhì)點做勻變速直線運(yùn)動。

在區(qū)域，質(zhì)點受到的場力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，質(zhì)點做勻變速直線運(yùn)動。

質(zhì)點在兩個區(qū)域均做加速度大小為，方向指向O點的勻變速直線運(yùn)動；

（2）a．在區(qū)域，質(zhì)點從O點向x軸正方向運(yùn)動，場力做負(fù)功，勢能增加。

由，得，其中

解得：

同理可得，在區(qū)域，勢能

所以，勢能

勢能Ep隨x變化的示意圖如右圖所示：

b．質(zhì)點在運(yùn)動過程中動能與勢能互相轉(zhuǎn)化，能量守恒。

質(zhì)點與O點距離為x0時，勢能

根據(jù)能量守恒，動能。