Question

9．如圖所示，一長木板質(zhì)量為M=4kg，木板與地面的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，質(zhì)量為m=2kg的小滑塊放在木板的右端，小滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.4．開始時木板與滑塊都處于靜止?fàn)顟B(tài)，木板的右端與右側(cè)豎直墻壁的距離L=8.5m，現(xiàn)給木板以水平向右的初速度v₀=9m/s使木板向右運動，設(shè)木板與墻壁碰撞時間極短，且碰后以原速率彈回，取g=10m/s²，求：
（1）木板與滑塊達(dá)到共速時，木板前進(jìn)的距離．
（2）木板與墻壁碰撞時，木板和滑塊的瞬時速度各是多大？
（3）木板與墻壁碰撞后，判斷小滑塊能否從木板上滑出？若能，求出滑出時小滑塊的速度；若不能，求出小滑塊停止時離木板右端的距離．

Answer 1

分析 （1）分別對滑塊和木板受力分析，然后根據(jù)牛頓第二定律求出各自的加速度，滑塊做勻加速直線運動，木板做勻減速直線運動，然后根據(jù)運動學(xué)公式列式求解；
（2）首先要判斷出二者的速度相等后，二者以相等的加速度運動，然后以運動學(xué)的公式即可求出；
（3）木板與墻壁碰撞后，木板做勻減速直線運動，木塊也做勻減速直線運動，根據(jù)速度時間公式列式求解即可．

解答 解：（1）木板獲得初速度后，與小滑塊發(fā)生相對滑動，木板向右做勻減速運動，小滑塊向右做勻加速運動，根據(jù)牛頓第二定律，加速度大小分別為：
小木塊受到的摩擦力：f_m=μ₁mg=0.4×2×10=8N
木板受到的摩擦力：f_M=μ₁（m+M）g=0.2×（2+4）×10=12N
a_m=$\frac{f_m}{m}$=μ₂g=4m/s²
a_M=$\frac{{{f_m}+{f_地}}}{M}$=$\frac{8+12}{4}$=5m/s²
設(shè)木板與墻碰撞時，二者的速度早已相等，設(shè)共同的速度為v，則：
a_mt=v₀-a_Mt=v
代入數(shù)據(jù)得：t=1s，v=4m/s
該過程中木板的位移：${x}_{1}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}=9×1-\frac{1}{2}×5×{1}^{2}=6.5$m
（2）二者的速度相等后，若二者以相等的加速度運動，則：
$a=\frac{{μ}_{2}（m+M）g}{m+M}={μ}_{2}g=0.2×10=2m/{s}^{2}$＜a_m
由分析可知，二者可以以相等的加速度一起減速．減速的位移：
x₂=L-x₁=8.5-6.5=2m
設(shè)二者與墻壁碰撞時的速度為v₁，由公式：$-2a{x}_{2}={v}_{1}^{2}-{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{1}=2\sqrt{2}$m/s
（3）設(shè)木板反彈后，木板向左運動，而小木塊向右做減速運動，由受力可知，二者的加速度的大小與開始時的加速度的大小是相等的；
設(shè)木板經(jīng)過時間t′的速度變成0，則：v₁-a_Mt′=0
所以：$t′=0.4\sqrt{2}$s
此時小滑塊的速度：${v}_{2}={v}_{1}-{a}_{m}t′=2\sqrt{2}-4×0.4\sqrt{2}=0.4\sqrt{2}$m/s
此后，由于小木塊與木板之間的摩擦力小于木板與地面之間的最大靜摩擦力，所以最后的一段時間內(nèi)木板保持不動，滑塊繼續(xù)在木板上減速，直到停止．
木板由木塊的速度相等前，小木塊的位移：${x}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{m}}=\frac{{4}^{2}}{2×4}=2$m
小木塊到木板的右端的距離：△x₁=x₁-x₂=6.5-2=4.5m
木板反向后，木板向左的位移：${x}_{3}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{M}}=\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{2×5}=0.8$m
小木塊的總位移：${x}_{4}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{m}}=\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{2×4}=1$m
可知，木板的速度反向后二者的相對位移：△x₂=x₃+x₄=0.8+1=1.8m＜△x₁
小滑塊停止時離木板右端的距離：S=△x₁-△x₂=4.5-1.8=2.7m
答：（1）木板與滑塊達(dá)到共速時，木板前進(jìn)的距離是6.5m．
（2）木板與墻壁碰撞時，木板和滑塊的瞬時速度都是$2\sqrt{2}$m/s；
（3）木板與墻壁碰撞后，判斷小滑塊不能從木板上滑出；小滑塊停止時離木板右端的距離是2.7m．

點評 本題屬于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用中的多物體、多過程的情況，而且又增加了摩擦力的變化問題，設(shè)計的情景復(fù)雜，解答的關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出木板和滑塊的加速度，然后根據(jù)運動學(xué)公式列式求解．