Question

12．質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子，以某一初速度垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，半徑為r．可將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)等效為一環(huán)形電流，環(huán)的半徑等于粒子的軌道半徑．不計(jì)重力影響．
（1）求粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)線速度的大小v；
（2）求等效環(huán)形電流的大小I；
（3）若在O點(diǎn)固定一個(gè)點(diǎn)電荷A．粒子射入磁場(chǎng)的位置和速度方向保持不變．當(dāng)原有磁場(chǎng)大小、方向都不變時(shí)，改變粒子射入磁場(chǎng)的初速度的大小，仍可使粒子繞O做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)原有磁場(chǎng)方向反向，而磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小不變時(shí)，再改變粒子射入磁場(chǎng)的初速度的大小，還能使粒子繞O做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)．兩次所形成的等效電流之差的絕對(duì)值為△I，求△I的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力做向心力可解得v；
（2）由電流等于某一橫截面單位時(shí)間通過(guò)的電量，而電量即帶電粒子所帶電量乘以單位時(shí)間帶電粒子繞的圈數(shù)；
（3）分析兩種情況受力情況，向心力構(gòu)成；寫出等效電流的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為向心力公式中的量，并由向心力公式解得等效電流之差．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，所以，有：$Bvq=m\frac{v^2}{r}$，解得：$v=\frac{Bqr}{m}$；
（2）電量為+q的帶電粒子做$v=\frac{Bqr}{m}$的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，即相當(dāng)于環(huán)形電流任一截面在周期T內(nèi)通過(guò)電量q；
所以，等效環(huán)形電流為：$I=\frac{q}{T}=\frac{{B{q^2}}}{2πm}$；
（3）當(dāng)磁場(chǎng)反向時(shí)，洛侖茲力方向也會(huì)相反，粒子仍繞O做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，所以，點(diǎn)電荷A對(duì)帶電粒子的庫(kù)侖力F一定指向圓心，所有，A帶負(fù)電．
磁場(chǎng)反向前粒子的速度為v₁，有$B{v_1}q+{F_{\;}}=\frac{mv_1^2}{r}$，所以，${F_{\;}}=\frac{mv_1^2}{r}-B{v_1}q$，
磁場(chǎng)反向后粒子的速度為v₂，有$-B{v_2}q+F=m\frac{v_2^2}{r}$，所以，$F=m\frac{v_2^2}{r}+B{v_2}q$，
等效電流$I=\frac{q}{T}=\frac{qv}{2πr}$，
兩次形成等效電流分別${I_1}=\frac{{q{v_1}}}{2πr}$，${I_2}=\frac{{q{v_2}}}{2πr}$
因?yàn)関₁＞v₂，所以，I₁＞I₂；
所以，兩次所形成的等效電流之差的絕對(duì)值$△I={I_1}-{I_2}=\frac{{q（{v_1}-{v_2}）}}{2πr}$
${F_{\;}}=\frac{mv_1^2}{r}-B{v_1}q$=$m\frac{v_2^2}{r}+B{v_2}q$
所以，$\frac{m}{r}（{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}）=Bq（{v}_{1}+{v}_{2}）$，
所以，$\frac{m}{r}（{v}_{1}-{v}_{2}）=Bq$，
所以，${v}_{1}-{v}_{2}=\frac{Bqr}{m}$，
故可得$△I=\frac{{B{q^2}}}{2πm}$．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)線速度為$\frac{Bqr}{m}$；
（2）等效環(huán)形電流大小為$\frac{{B{q^2}}}{2πm}$；
（3）兩次所形成的等效電流之差的絕對(duì)值$△I=\frac{{B{q^2}}}{2πm}$．

點(diǎn)評(píng) 物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力與質(zhì)量、半徑、速度的關(guān)系通常用在衛(wèi)星或帶電粒子（在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)）中的變軌、兩不同條件、兩不同衛(wèi)星或粒子情況下的比較．