Question

10．物體在一直線上做初速度為v₀加速度為a的勻加速運動，設第一個時間間隔T內位移為x₁，第二個T內位移為x₂，第三個T內位移為x₃，…，第n個T內位移為x_n．
證明：△x=x₂-x₁=x₃-x₂…=x_n-x_n-1=aT²．

Answer 1

分析 根據(jù)勻變速直線運動的位移時間關系式和速度時間公式，分別對兩段過程列式，然后做差整理，即可證明．

解答 解：設做勻變速直線運動的物體的加速度為a，在第1個時間T內的初速度為v₀，末速度為v_T，位移為x₁，則：
  v_T=v₀+aT
  x₁=v₀T+$\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$
第2個T時間的位移${x}_{2}^{\;}$，末速度${v}_{2T}^{\;}$
${v}_{2T}^{\;}={v}_{T}^{\;}+aT={v}_{0}^{\;}+2aT$
${x}_{2}^{\;}={v}_{T}^{\;}T+\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$=$（{v}_{0}^{\;}+aT）T+\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}={v}_{0}^{\;}T$$+\frac{3}{2}a{T}_{\;}^{2}$
第3個T時間的位移${x}_{3}^{\;}$，末速度${v}_{3T}^{\;}$
${v}_{3T}^{\;}={v}_{2T}^{\;}+aT={v}_{0}^{\;}+3aT$
${x}_{3}^{\;}={v}_{2T}^{\;}T+\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$=$（{v}_{0}^{\;}+2aT）T+\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$=${v}_{0}^{\;}T+\frac{5}{2}a{T}_{\;}^{2}$
…
${x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=a{T}_{\;}^{2}$
${x}_{3}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=a{T}_{\;}^{2}$
同理${x}_{n}^{\;}-{x}_{n-1}^{\;}=a{T}_{\;}^{2}$；得證．
答：證明見上．

點評 在解決勻變速直線運動的題目中，經(jīng)常會遇到對不同的過程列相似的表達式，然后解方程組，要注意這種方法的靈活應用．