Question

如圖所示，在足夠大的空間中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，其方向垂直紙面向里．在紙面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長為L的等邊三角形框架DEF，DE中點(diǎn)S處有一粒子發(fā)射源，發(fā)射粒子的方向在紙面內(nèi)且垂直于DE邊向下，如圖所示，所發(fā)射粒子的帶電量為+q，質(zhì)量為m，但速度v有各種不同的數(shù)值．若這些粒子與三角形框架碰撞時均無能量損失，且每一次碰撞時速度方向都垂直于被碰的邊，試求：
（1）帶電粒子的速度v為多大時，能夠打到E點(diǎn)？
（2）為使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動時間最短，v應(yīng)為多大？最短時間為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系得出半徑與SE的關(guān)系，從而求出粒子的速度．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的周期與速度無關(guān)，當(dāng)粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度最小時，運(yùn)動時間最短，可知當(dāng)粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑等于

L

2

時，運(yùn)動的時間最短，結(jié)合圓心角求出運(yùn)動的最短時間，結(jié)合半徑公式求出速度的大�。�

解答：解：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

．
根據(jù)幾何關(guān)系有：

1

2

L=n×2R   (n=1，2，3…)
解得：v=

qBL

4nm

 （n=1，2，3…）
（2）依題意粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑：R=

L

2

×

1

2n-1

 (n=1，2，3，…)
在磁場中粒子做圓周運(yùn)動的周期：T=

2πm

qB

，與粒子的速度無關(guān)．
由t=

θ

2π

T知，粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度最小時，運(yùn)動的時間最短，
這時n=1，則R=

L

2

=

mv

qB

，即有：v=

qBL

2m

．
粒子以三角形的三個頂點(diǎn)為圓心運(yùn)動，相鄰兩次碰撞的時間間隔為t=

5

6

T，第三次碰撞回到S點(diǎn)，
則最短時間為：tmin=3t=

5

2

T=

5πm

qB

．
答：（1）帶電粒子的速度v=

qBL

4nm

（n=1，2，3…），能夠打到E點(diǎn)．
（2）為使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動時間最短，v=

qBL

2m

，最短時間為tmin=

5πm

qB

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵得出粒子在磁場中運(yùn)動的半徑通項(xiàng)表達(dá)式，確定半徑為何值時恰好打在E點(diǎn)，何時能夠回到S點(diǎn)，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．