Question

如圖所示，火箭栽著宇宙探測器飛向某行星，火箭內平臺上還放有測試儀器．火箭從地面起飛時，以加速度

g0

2

豎直向上做勻加速直線運動（g₀為地面附近的重力加速度），已知地球半徑為R．
（1）到某一高度時，測試儀器對平臺的壓力是剛起飛時壓力的

17

18

，求此時火箭離地面的高度h．
（2）探測器與箭體分離后，進入行星表面附近的預定軌道，進行一系列科學實驗和測量，若測得探測器環(huán)繞該行星運動的周期為T₀，試問：該行星的平均密度為多少？（假定行星為球體，且已知萬有引力恒量為G）

Answer 1

分析：1、以測試儀器為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律求出某一高度處的重力加速度，再由重力等于萬有引力，代入數(shù)據(jù)求解火箭離地面的高度．
2、現(xiàn)根據(jù)萬有引力提供向心力，求出行星的質量，再根據(jù)密度的定義式，計算密度．

解答：解：（1）火箭剛起飛時，以測試儀為研究對象，受地球引力mg₀、平臺的支持力N₁，有：
N1-mg0=ma=m×

g0

2

N1=

3

2

mg0
根據(jù)牛頓第三定律，起飛時測試儀器對平臺的壓力大小為N′=

3

2

mg0．
設火箭離地高為h時，平臺對測試儀器的支持力為N₂，則有：N2-

GMm

(R+h)2

=m×

g0

2

，其中G為萬有引力恒量，M為地球質量．
在地面附近，有：G

Mm

R2

=mg0
則：N2=(

R

R+h

)2mg0+

mg0

2

=

17

18

N1=

17

18

×

3

2

mg0
于是得到：h=

(2 3 - 11 )

11

R
（2）設行星質量為M，行星平均密度為ρ，

GMm

R2

=m

4π2

T2

R
又有：M=

4

3

πR3ρ
得：ρ=

3π

GT02

．
答（1）到某一高度時，測試儀器對平臺的壓力是剛起飛時壓力的

17

18

，此時火箭離地面的高度h為

(2 3 - 11 )

11

R．
（2）探測器與箭體分離后，進入行星表面附近的預定軌道，進行一系列科學實驗和測量，若測得探測器環(huán)繞該行星運動的周期為T₀，則該行星的平均密度為

3π

GT02

．

點評：本題中g=

GM

(R+h)2

稱為黃金代換式，反映了重力加速度與高度的關系，可根據(jù)重力與萬有引力推導出來的．