Question

19．如圖所示，質量為M的小車D靜止在水平光滑的軌道上，一根長為L的細繩固定質量為m的球A，細繩的另一端固定在小車D上，另一根長為2L的細繩固定質量為2m的球B，另一端固定在O點，兩細繩自由下垂時兩小球正好相切，且兩球心在同一水平線上．觀將小球B拉至細繩成水平伸長狀態(tài)后由靜止釋放，小球A、B發(fā)生彈性碰撞，碰撞時間極短，重力加速度為g．求：
（1）小球A、B碰撞前瞬間，碰撞時小球B的拉力大�。�
（2）小球A、B碰撞后，A球上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）B球下擺的過程中，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求球B剛到最低點時速度大�。畠汕蚺鲎策^程，由動量守恒定律和機械能守恒定律結合求出碰后瞬間兩球的速度，再由牛頓第二定律和向心力公式求細繩拉力的大�。�
（2）根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律求碰撞后A球的速度，碰后，再對A球和小車組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律和機械能守恒定律求碰撞作用后A球上升的最大高度．

解答 解：（1）B球下擺機械能守恒，則得：
2mg•2L=$\frac{1}{2}$•2m${v}_{0}^{2}$
得：v₀=2$\sqrt{gL}$
碰撞前瞬間，對B球，根據(jù)牛頓第二定律有：
F-2mg=2m$\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}$
代入解得：F=6mg
B球與A球碰撞，系統(tǒng)的動量和機械能守恒，取水平向右為正方向，則有：
 2mv₀=2mv₁+mv₂； 
 $\frac{1}{2}$•2mv₀²=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²；
聯(lián)合解得：v₁=$\frac{1}{3}$v₀，v₂=$\frac{4}{3}$v₀．
碰撞后瞬間，對B球，根據(jù)牛頓第二定律有：
F′-2mg=2m$\frac{{v}_{1}^{2}}{2L}$
代入解得：F′=$\frac{22}{9}$mg
（2）A球上升時小車隨之向右運動，系統(tǒng)水平方向動量守恒和機械能守恒，到最大高度時A球與小車速度相同，則有：
  mv₂=（m+M）v
  $\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgh
聯(lián)合解得：h=$\frac{32ML}{9（M+m）}$
答：（1）小球A、B碰撞前瞬間，碰撞時小球B的拉力大小分別為6mg和$\frac{22}{9}$mg．
（2）小球A、B碰撞后，A球上升的最大高度是$\frac{32ML}{9（M+m）}$．

點評 解決本題的關鍵要理清兩球和小車的運動過程，抓住彈性碰撞的基本規(guī)律：系統(tǒng)的動量守恒和能量守恒，并能熟練運用．