Question

20．如圖所示，dc與ef是無(wú)電阻的導(dǎo)軌，相距為l，固定在水平面內(nèi)，同時(shí)存在圖示方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，de端接有一個(gè)阻值為R的定值電阻，cf端接有一個(gè)電容為C的電容器，距d為x₀處的P點(diǎn)有個(gè)小缺口，兩導(dǎo)軌P點(diǎn)左側(cè)無(wú)摩擦，右側(cè)的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，距P不遠(yuǎn)處導(dǎo)軌中央O點(diǎn)有一個(gè)質(zhì)量為m的粘性物體，將金屬輕桿ab（不計(jì)質(zhì)量，沒(méi)有電阻）緊挨de放置，在水平拉力F作用下向右運(yùn)動(dòng)，拉力F與桿往右運(yùn)動(dòng)的位移x成正比，即：F=kx，當(dāng)桿ab到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，試求：（不考慮感應(yīng)電流的磁場(chǎng)，其中“F=kx”的k=$\frac{{mv}_{0}}{{CRx}_{0}}$）
（1）從桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至到達(dá)P點(diǎn)F所做的功和電阻R上放出的熱量；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）越過(guò)P點(diǎn)后桿粘上物體（物體離開(kāi)水平面）成為一體，開(kāi)讓ab桿維持速度v₀勻速運(yùn)動(dòng)一段足夠長(zhǎng)的時(shí)間后撤去外力，那么撤去外力后桿運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間才能停止運(yùn)動(dòng)？撤去外力后桿運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)的距離？

Answer 1

分析 （1）拉力F與位移x成正比，可用平均力與位移的乘積求F所做的功．電阻R上放出的熱量等于F所做的功．
（2）因?yàn)闂U無(wú)質(zhì)量，所以拉力與安培力大小相等．由此求B的大小．
（3）越過(guò)P后，C兩端的電壓 U=Blv₀．所帶電量 q=CBlv₀．撤去F后，由于存在摩擦力，所以桿會(huì)減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用動(dòng)量定理分析速度與時(shí)間的關(guān)系，確定桿的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，再求解時(shí)間和位移．

解答 解：（1）由于拉力F與位移x成正比，所以可用平均力求拉力做功，即為：
W=$\frac{0+{F}_{0}}{2}{x}_{0}$=$\frac{k{x}_{0}}{2}{x}_{0}$=$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$
R上放出的熱量等于F所做的功，即為：
Q=$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$
（2）因?yàn)闂U無(wú)質(zhì)量，所以拉力必然時(shí)刻等于安培力．則有：
F=kx₀=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$
解得：B=$\sqrt{\frac{k{x}_{0}R}{{l}^{2}{v}_{0}}}$=$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{m}{C}}$
（3）越過(guò)P后，C兩端的電壓為：U=Blv₀．
所帶電量為：q₀=CU=CBlv₀．
撤去外力F后，由于存在摩擦力，所以桿會(huì)減速運(yùn)動(dòng)，而電容器放電，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量定理（設(shè)t時(shí)刻的速度為v，此時(shí)電容器所帶電荷量為 q=CBlv）得：
（-μmg+Bli）△t=m△v
兩邊求和得：-μmg$\sum_{\;}^{\;}$△t+Bl$\sum_{\;}^{\;}$i△t=m$\sum_{\;}^{\;}$△v
即得：-μmgt+Bl（q₀-q）=m（v-v₀）
-μmgt+CB²l²（v₀-v）=-m（v₀-v）
可得：v=v₀-$\frac{μmg}{C{B}^{2}{l}^{2}+m}$t
可見(jiàn)，桿做加速度為：a=$\frac{μmg}{C{B}^{2}{l}^{2}+m}$=$\frac{1}{2}μg$的勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)v=0時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，所以撤去外力后桿運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t=$\frac{2{v}_{0}}{μg}$
位移為：x=$\frac{{v}_{0}t}{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$
答：（1）從桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至到達(dá)P點(diǎn)F所做的功和電阻R上放出的熱量均為$\frac{m{v}_{0}{x}_{0}}{2CR}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{m}{C}}$；
（3）撤去外力后桿運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\frac{2{v}_{0}}{μg}$，位移是$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題電磁感應(yīng)與電路的綜合，除掌握電磁感應(yīng)與力學(xué)的基本規(guī)律外，關(guān)鍵要是運(yùn)用動(dòng)量定理及電容器的放電電流公式 i=$\frac{△q}{△t}$，分析v與t的關(guān)系，這是常用積分法，要學(xué)會(huì)運(yùn)用．