Question

（19分）“嫦娥三號(hào)”在月面成功軟著陸，該過(guò)程可簡(jiǎn)化為：距月面15 km時(shí)，打開(kāi)反推發(fā)動(dòng)機(jī)減速，下降到距月面H=l00m.處時(shí)懸停，尋找合適落月點(diǎn)；然后繼續(xù)下降，距月面h＝4m時(shí)，速度再次減為零；此后關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，自由下落至月面。“嫦娥三號(hào)”質(zhì)量為m（視為不變），月球質(zhì)量是地球的k倍．月球半徑是地球的n倍，地球半徑為R、表面重力加速度為g；月球半徑遠(yuǎn)大于H，不計(jì)月球自轉(zhuǎn)的影響。以下結(jié)果均用題中所給符號(hào)表示。
（1）求月球表面的重力加速度大小；
（2）求“嫦娥三號(hào)”懸停時(shí)反推發(fā)動(dòng)機(jī)的推力大小F，以及從懸停處到落至月面過(guò)程中所有發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦峨三號(hào)”做的功W；
（3）取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，月球引力范圍內(nèi)質(zhì)量為m的物體具有的引力勢(shì)能，式中G為萬(wàn)有引力常量，為月球的質(zhì)量，r為物體到月心的距離。若使“嫦娥三號(hào)”從月面脫離月球引力作用，忽略其它天體的影響，發(fā)射速度v₀至少多大？（用k、n、g、R表示）

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）嫦娥三號(hào)在地球上，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：
嫦娥三號(hào)在月球上，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：，又，解得
（2）嫦娥三號(hào)懸停時(shí)，由平衡條件可得 ，由上式可得：
嫦娥三號(hào)由懸停到落至月面，由功能關(guān)系有：，解得
（3）嫦娥三號(hào)從月面到無(wú)窮遠(yuǎn)處過(guò)程中，由能量守恒定律，有，由上述式子聯(lián)立可得：