Question

12．2016年2月1日15點29分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第五顆新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星．該衛(wèi)星繞地球作圓周運動，質(zhì)量為m，軌道半徑約為地球半徑R的4倍．已知地球表面的重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，則（　�。�

• A． 衛(wèi)星的繞行速率大于7.9 km/s
• B． 衛(wèi)星的動能大小約為$\frac{mgR}{8}$
• C． 衛(wèi)星所在高度的重力加速度大小約為$\frac{1}{4}$g
• D． 衛(wèi)星的繞行周期約為4π$\sqrt{Rg}$

Answer 1

分析 7.9 km/s是第一宇宙速度，是衛(wèi)星繞地球作圓周運動最大的運行速度．根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，求得衛(wèi)星的線速度和周期，再得到衛(wèi)星的動能．由重力等于萬有引力，求衛(wèi)星所在高度的重力加速度．

解答 解：A、7.9km/s是第一宇宙速度，是衛(wèi)星最大的環(huán)繞速度，所以該衛(wèi)星的速度小于7.9 km/s．故A錯誤．
B、在地球表面質(zhì)量為m₀的物體，由G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g，得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，或GM=gR²，其中M表示地球的質(zhì)量，R是地球的半徑．
衛(wèi)星繞地球作圓周運動，由萬有引力提供向心力，則有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
衛(wèi)星的動能為 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{GMm}{2r}$=$\frac{g{R}^{2}m}{2×4R}$=$\frac{mgR}{8}$，故B正確．
C、根據(jù)mg′=G$\frac{Mm}{（4R）^{2}}$，得衛(wèi)星所在高度的重力加速度大小 g′=$\frac{GM}{16{R}^{2}}$=$\frac{1}{16}$g，故C錯誤．
D、由萬有引力定律和牛頓第二定律得 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=4R，則得衛(wèi)星的繞行周期 T=2π$\sqrt{\frac{（4R）^{3}}{GM}}$
將GM=gR²代入得 T=8π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，故D錯誤．
故選：B

點評 衛(wèi)星問題處理的主要思路有兩條：一星球表面物體的重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力，GM=gR²稱為黃金代換式，在衛(wèi)星問題中經(jīng)常用到，要熟練掌握．