Question

豎直平面內(nèi)有一光滑圓弧形軌道，O為最低點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)距0點(diǎn)的高度分別為h和4h，現(xiàn)從A點(diǎn)釋放一質(zhì)量為M的大物體，且每隔適當(dāng)?shù)臅r(shí)間從B點(diǎn)釋放一質(zhì)量為m的小物體，它們和大物體碰撞后都結(jié)為一體，已知M=100m，
（1）若每當(dāng)大物體向右運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，都有一個(gè)小物體與之碰撞，問碰撞多少次后大物體的速度最�。�
（2）若大物體第一次向右運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)，和小物體碰撞，以后每當(dāng)大物體向左運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)，才與一個(gè)小物體碰撞，問共碰撞多少次后大物體能越過A點(diǎn)？
（3）若每當(dāng)大物體運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)，都有一個(gè)小物體與之碰撞，問碰撞50次后，大物體運(yùn)動(dòng)的最大高度為h的幾分之幾？

Answer 1

（1）設(shè)A、B在O點(diǎn)的速度大小分別為v_A、v_B．
由機(jī)械能守恒定律得：Mgh=

1

2

M

v

2A

，mg?4h=

1

2

m

v

2B

解得，v_A=

2gh

，v_B=2

2gh

設(shè)碰撞n次后大物體的速度最小，最小速度為零，則根據(jù)動(dòng)量守恒得：
  Mv_A-nmv_B=（M+m）v
當(dāng)v=0時(shí)，Mv_A-nmv_B=0，則得n=50次
（2）當(dāng)大物體的速度達(dá)到v_A時(shí)，恰好能越過A點(diǎn)．
 第一次碰撞：Mv_A-mv_B=（M+m）v
 設(shè)再碰撞k次：（M+m）v+kmv_B=（M+m+km）v_A，
聯(lián)立解得 k=3
故共碰4次．
（3）第1次碰撞：Mv_A-mv_B=（M+m）v₁，
    第2次碰撞：（M+m）v₁+mv_B=（M+2m）v₂，
    第3次碰撞：（M+m）v₂-mv_B=（M+3m）v₃，
    第4次碰撞：（M+m）v₃+mv_B=（M+4m）v₄，
   …
第50次碰撞：（M+49m）v₄₉+mv_B=（M+50m）v₅₀，
聯(lián)立解得，v₅₀=

2

3

vA
根據(jù)機(jī)械能守恒得：Mgh′=

1

2

m(v50)2
解得h′=

4

9

h
答：
（1）若每當(dāng)大物體向右運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，都有一個(gè)小物體與之碰撞，碰撞50次后大物體的速度最�。�
（2）若大物體第一次向右運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)，和小物體碰撞，以后每當(dāng)大物體向左運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)，才與一個(gè)小物體碰撞，共碰撞4次后大物體能越過A點(diǎn)．
（3）若每當(dāng)大物體運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)時(shí)，都有一個(gè)小物體與之碰撞，碰撞50次后，大物體運(yùn)動(dòng)的最大高度為h的

4

9

．