Question

4．將一根長為L的光滑細(xì)鋼絲ABCDE制成如圖所示的形狀，并固定在豎直平面內(nèi)．其中AD段豎直，DE段為$\frac{3}{4}$圓弧，圓心為O，E為圓弧最高點，C與E、D與O分別等高，BC=$\frac{1}{4}$AC．將質(zhì)量為m的小珠套在鋼絲上由靜止釋放，不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）小珠由C點釋放，求到達(dá)E點的速度大小v₁；
（2）小珠由B點釋放，從E點滑出后恰好撞到D點，求圓弧的半徑R；
（3）欲使小珠到達(dá)E點與鋼絲間的彈力超過$\frac{mg}{4}$，求釋放小珠的位置范圍．

Answer 1

分析 （1）小珠由C點釋放后，小球的機(jī)械能守恒，由此求出小球到達(dá)E點的速度大小v₁；
（2）小珠由B點釋放，從E點滑出后做平拋運動，將運動分解即可求出圓弧的半徑R；
（3）對小珠減小受力分析，由機(jī)械能守恒，結(jié)合牛頓第二定律即可求出釋放小珠的位置范圍．

解答 解：（1）選取O點為0勢能點，C點與E點相對于O的高度都是R；小珠由C點釋放后，小球的機(jī)械能守恒，則：
$mgR=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
所以：v₁=0；
 （2）小珠從E點滑出后做平拋運動，豎直方向：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
所以：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
水平方向：R=v₂t
所以：${v}_{2}=\frac{R}{t}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$
B相對于O點的高度：h_B=R+$\frac{1}{4}\overline{AC}$
其中：$\overline{AC}=L-\frac{3}{4}•2πR-R$
B到E的過程中：$mg{h}_{B}=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立可得：$R=\frac{2L}{4+3π}$；
（3）設(shè)釋放點 的高度相對于C點為h，若小珠子到達(dá)E時，與鋼絲間的彈力超過$\frac{mg}{4}$有兩種情況：
Ⅰ、小珠受到的彈力方向向上，則：$mg-\frac{1}{4}mg=\frac{m{v}_{3}^{2}}{R}$
由機(jī)械能守恒得：$mg（h+R）=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
聯(lián)立得：h=$\frac{3L}{4（4+3π）}$
Ⅱ、小珠受到的彈力方向向下，則：$mg+\frac{1}{4}mg=\frac{m{v}_{4}^{2}}{R}$
由機(jī)械能守恒得：$mg（h′+R）=mgR+\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
聯(lián)立得：h′=$\frac{5L}{4（4+3π）}$
即當(dāng)小珠子從C點上方低于$\frac{3L}{4（4+3π）}$處滑下或高于$\frac{5L}{4（4+3π）}$處滑下時，小珠到達(dá)E點與鋼絲間的彈力超過$\frac{mg}{4}$．
答：（1）小珠由C點釋放，到達(dá)E點的速度大小為0；
（2）小珠由B點釋放，從E點滑出后恰好撞到D點，圓弧的半徑R為$\frac{2L}{4+3π}$；
（3）欲使小珠到達(dá)E點與鋼絲間的彈力超過$\frac{mg}{4}$，則需要小珠子從C點上方低于$\frac{3L}{4（4+3π）}$處滑下或高于$\frac{5L}{4（4+3π）}$處滑下．

點評 該題結(jié)合平拋運動以及豎直平面內(nèi)的圓周運動考查機(jī)械能守恒，屬于機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用中難度大的題目，在解答的過程中要注意對過程的分析，同時要注意各知識點的結(jié)合．