Question

8．如圖所示，橫截面為四分之一圓的柱形玻璃磚放在水平面MN上，O點(diǎn)是圓心．一列與OA面等高的平行光束沿水平方向垂直射向玻璃磚的OA面，平行光束通過玻璃磚后在水平面MN上留下照亮的區(qū)域．已知玻璃磚的折射率為n（n＜2），不考慮光在OA、OB面的反射．求：
（1）若在玻璃磚左側(cè)豎直放置一遮光板，使水平面BN不被照亮，遮光板的最小高度是多少？
（2）撤去遮光板，從OA的中點(diǎn)射入的光，在MN上的P處留下一個(gè)光點(diǎn)，P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)光線射到AB面上恰好發(fā)生全反射時(shí)，遮光板的最小高度等于光線在AB面上的入射以O(shè)N的距離，根據(jù)折射定律求出臨界角，由幾何知識(shí)求出遮光板的最小高度．
（2）作出光路圖，根據(jù)幾何知識(shí)確定光線射到AB面上的入射角，由折射定律求出折射角，再由幾何知識(shí)求出P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)光線在AB面入射角大于臨界角C時(shí)，將沒有光線出射后射向BN平面，設(shè)遮光板高度為h，則
由折射定律有：sinC=$\frac{1}{n}$，
由幾何知識(shí)得h=RsinC
求得h=$\frac{R}{n}$．
（2）如圖2，當(dāng)光在AB面中點(diǎn)入射時(shí)，入射角為30°，設(shè)P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為S，
由折射定律$\frac{sinθ}{sin30°}=n$，
解得sinθ=$\frac{1}{2}n$，cosθ=$\frac{\sqrt{4-{n}^{2}}}{2}$，
在直角△OEP中，θ=30+γ
根據(jù)正弦定律有：$\frac{S}{sin（180°-θ）}=\frac{R}{sinγ}$，
因此S=R$\frac{sinθ}{sinγ}$=$R\frac{sinθ}{sin（θ-30°）}$=$R\frac{sinθ}{sinθcos30°-sin30°cosθ}$，
代入θ的正弦值和余弦值，求得P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離S=$\frac{2nR}{\sqrt{3}n-\sqrt{4-{n}^{2}}}$．
答：（1）遮光板的最小高度是$\frac{R}{n}$；
（2）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離是$\frac{2nR}{\sqrt{3}n-\sqrt{4-{n}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何光學(xué)的運(yùn)用，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，關(guān)鍵作出光路圖，結(jié)合折射定律和幾何關(guān)系綜合求解．