Question

13．空間有一靜電場，在x 軸上的電場方向豎直向下，軸上的電場強度大小按E=kx 分布（x 是軸上某點到O 點的距離），如圖所示．在O 點正下方有一長為L 的絕緣細線連接A、B 兩個均帶負電的小球（可視為質點），A 球距O 點的距離為L，兩球恰好靜止，細繩處于張緊狀態(tài)．已知A、B 兩球質量均為m，B 所帶電量為-q，k=$\frac{mg}{2qL}$，不計兩小球之間的靜電力作用．
（1）求A球的帶電量；
（2）剪斷細線后，A球向上運動，求A球運動的最大速度；
（3）剪斷細線后，求B球的運動范圍．

Answer 1

分析 （1）選取AB組成的整體為研究的對象，寫出平衡方程，即可求得A的電量；
（2）根據(jù)電場強度大小按E=kx分布，當A球受到的重力與電場力相等時，受到最大；根據(jù)動能定理即可求得A球運動的最大速度；
（3）剪斷細線后，B球的先向下做加速運動，隨受到的電場力的增大，加速度減小，所以B球做加速度減小的加速運動；當電場力大于重力之后，小球B做減速運動，直至返回．根據(jù)它受力的特殊性和運動的對稱性即可求解．

解答 解：（1）A、B兩球靜止時，A球所處位置場強為：E₁=k•L=$\frac{mg}{4q}$
B球所處位置場強為：E2=k•2L=$\frac{mg}{2q}$
對A、B由整體法得：2mg+q_AE₁=qE₂
解得：q_A=-6q
（2）A球所受電場力F與x的關系式為：F₁=q_AE₁=-6qkx=$\frac{3mg}{2L}x$
剪斷細線后，A球向上運動，當A球的加速度為零時，速度達到最大，
此時設A球距O點距離為x₁，則有：
mg=$\frac{3mg}{2L}$x₁，
解得：x₁=$\frac{2}{3}L$
位移△x₁=L-x₁=$\frac{L}{3}$
由動能定理可知，$\overline{{F}_{1}}•△{x}_{1}-mg△{x}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-0$
其中$\overline{{F}_{1}}$=$\frac{\frac{3mg}{2L}•L+\frac{3mg}{2L}{x}_{1}}{2}$=$\frac{5}{4}mg$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{gL}{6}}$
（3）剪斷細線后，設B球向下運動最大位移為△x₂時，速度變?yōu)榱悖?br />此時F₂=qE=q$\frac{mg}{4qL}$（2L+△x₂）=$\frac{mg}{4L}$（2L+△x₂），
剪由動能定理，mg△x₂-$\overline{{F}_{2}}$•△x₂=0．
其中$\overline{{F}_{2}}=\frac{q\frac{mg}{4qL}×2L+q\frac{mg}{4qL}（2L+△{x}_{2}）}{2}$=$\frac{mg}{8qL}（4L+△{x}_{2}）$
解得：△x₂=4L
則B球的運動范圍是：2L≤x≤6L；
答：（1）A球的帶電量為-6q；
（2）剪斷細線后，A球向上運動，A球運動的最大速度$\sqrt{\frac{gL}{6}}$；
（3）剪斷細線后，B球的運動范圍是：2L≤x≤6L．

點評 該題中，兩個小球受到的力是變力，要根據(jù)它們受力變化的規(guī)律，正確分析得出它們運動的規(guī)律，然后才能做出正確的結論．題目的難度比較大．