Question

1．為了測量某行星的質量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面做圓周運動的周期T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧測力計稱量一個質量為m的砝碼，讀數為F．已知引力常量為G．則下列正確的是（　�。�

• A． 該行量的質量為$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$
• B． 該行星的半徑為$\frac{4{π}^{2}F{T}^{2}}{m}$
• C． 該行星的密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{FT}{2πm}$

Answer 1

分析 登陸艙在該行星表面做圓周運動，根據牛頓第二定律列式；在星球表面，用彈簧稱稱量一個質量為m的砝碼讀數為F，根據重力等于萬有引力列式；聯立求解出質量和半徑；第一宇宙速度是星球表面軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度．

解答 解：B、據F=mg₀=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得R=$\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$，故B錯誤．
A、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，又R=$\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$，則M=$\frac{{F}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{4}}{16{π}_{\;}^{4}G{m}_{\;}^{3}}$，故A正確．
CD、密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$．第一宇宙速度v=$\sqrt{{g}_{0}^{\;}R}$=$\frac{FT}{2πm}$，故CD正確．
故選：ACD

點評 對于衛(wèi)星問題，關鍵值記住兩點：衛(wèi)星的萬有引力提供向心力；在星球表面，重力等于萬有引力．