Question

17．在光滑的水平面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，長為L的光滑細(xì)桿AB的兩個端點(diǎn)A、B分別約束在x軸和y軸上運(yùn)動，現(xiàn)讓A沿x軸正方向以速度v₀勻速運(yùn)動，已知P點(diǎn)為桿的中點(diǎn)，桿AB與x軸的夾角為β．關(guān)于P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡和P點(diǎn)的運(yùn)動速度大小v表達(dá)式正確的是（　　）

• A． P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓的一部分
• B． P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是橢圓的一部分
• C． P點(diǎn)的運(yùn)動速度大小v=v₀tanβ
• D． P點(diǎn)的運(yùn)動速度大小$v=\frac{v_0}{2sinβ}$

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，2x）、（0，2y），AB長度一定，設(shè)為L，列式求解出x與y的關(guān)系式，即為P點(diǎn)的軌跡方程；P點(diǎn)的軌跡是圓，速度是切線方向，畫出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系得到P點(diǎn)速度方向與桿的方向的夾角，P點(diǎn)的速度沿著桿方向的分速度與A點(diǎn)速度沿著桿方向的分速度相等．

解答 解：A、B、設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2x，0）、（0，2y），AB長度一定，設(shè)為L，根據(jù)勾股定理，有：
（2x）²+（2y）²=L²
解得：
x²+y²=（$\frac{L}{2}$）²
故P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓，半徑為$\frac{L}{2}$；故A正確，B錯誤；
C、D、畫出運(yùn)動軌跡，如圖：

速度v與桿的夾角α=90°-2β；
由于桿子不可以伸長，故P點(diǎn)的速度沿著桿方向的分速度與A點(diǎn)速度沿著桿方向的分速度相等，
故：
vcosβ=v₀cosβ
vcos（90°-2β）=v₀cosβ
解得：
$v=\frac{v_0}{2sinβ}$，故D正確，C錯誤；
故選：AD．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是采用運(yùn)動的合成與分解的方法進(jìn)行研究，找出點(diǎn)P的運(yùn)動方向是關(guān)鍵，同時掌握圓的方程．