Question

7．人類(lèi)發(fā)射的空間探測(cè)器進(jìn)入某行星的引力范圍后，繞該行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知該行星的半徑為R，探測(cè)器運(yùn)行軌道在其表面上空高為h處，運(yùn)行周期為T(mén)，引力常量為G．求：
（1）該行星的質(zhì)量；
（2）該行星的平均密度；
（3）設(shè)想在該行星表面發(fā)射一顆繞其環(huán)繞的衛(wèi)星，則最小的發(fā)射速度為多大？

Answer 1

分析 （1）空間探測(cè)器繞該行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，行星的萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合萬(wàn)有引力定律即可求出行星的質(zhì)量．
（2）行星看做球體，根據(jù)密度公式求行星密度；
（3）在該行星表面發(fā)射一顆繞其環(huán)繞的衛(wèi)星，則最小的發(fā)射速度即求第一宇宙速度

解答 解：（1）探測(cè)器繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得行星質(zhì)量：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）行星的體積$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（3）行星表面發(fā)射一顆繞其環(huán)繞的衛(wèi)星，則最小的發(fā)射速度即第一宇宙速度$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}R}}$
答：（1）該行星的質(zhì)量為$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）該行星的平均密度$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$；
（3）設(shè)想在該行星表面發(fā)射一顆繞其環(huán)繞的衛(wèi)星，則最小的發(fā)射速度為$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}R}}$

點(diǎn)評(píng) 此題一定明確萬(wàn)有引力提供向心力，會(huì)用周期表示向心力，還要知道球體的體積公式及密度公式，同時(shí)注意公式間的化簡(jiǎn)