Question

20．如圖甲所示，豎直虛線MN、PQ間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，MN左側(cè)有水平的平行金屬板，板的右端緊靠虛線MN，在兩板的電極E、F上加上如圖乙所示的電壓，在板的左端沿兩板的中線不斷地射入質(zhì)量為m，電荷量為+q的帶電粒子，粒子的速度均為v₀，側(cè)移最大的粒子剛好從板的右側(cè)邊緣射入磁場，兩板長為L，若$\frac{L}{v_0}$遠(yuǎn)大于T，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，U₀=$\frac{mv_0^2}{3q}$不計(jì)粒子的重力，求：

（1）兩板間的距離d為多少？
（2）要使所有粒子均不能從邊界PQ射出磁場，PQ、MN間的距離至少多大？
（3）若將下板下移$（\sqrt{3}-1）d$，則所有粒子進(jìn)入磁場后，要使所有粒子均不能從邊界PQ射出磁場，PQ、MN間的距離又至少為多大？

Answer 1

分析 （1）由乙圖得到等效平均電壓，再根據(jù)粒子正好從班的右側(cè)邊緣進(jìn)入磁場，利用類平拋運(yùn)動規(guī)律即可求得板間距離；
（2）由類平拋運(yùn)動得到進(jìn)入磁場的粒子速度大小和方向，求得粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑，然后，根據(jù)粒子的運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系求得最小距離；
（3）與（2）類似步驟，根據(jù)板間距改變，場強(qiáng)變小，加速度變小等類推下去即可．

解答 解：（1）粒子在水平方向上不受外力，所以粒子在電場中運(yùn)動的時間為$\frac{L}{{v}_{0}}$；
因?yàn)?\frac{L}{{v}_{0}}$遠(yuǎn)大于電場電壓變化的周期T，又由于電壓是均勻變化的，所以，加在E、F兩端的電壓可看成是U的平均值$\overline{U}=\frac{1}{2}{U}_{0}$；
由運(yùn)動學(xué)規(guī)律，分析粒子豎直方向的運(yùn)動，a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{1}{2}$$\frac{{qU}_{0}}{md}$；
所以，$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\frac{{qU}_{0}}{md}$×${（\frac{L}{{V}_{0}}）}^{2}$=$\frac2e1jpn8{2}$
由上式可得：d=$\frac{L}{{v}_{0}}\sqrt{\frac{{qU}_{0}}{2m}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}L$．
（2）粒子進(jìn)入磁場時速度為v，其水平分量v_x=v₀，豎直分量${v}_{y}=a•\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{q{U}_{0}L}{2md{v}_{0}}=\frac{L}{6d}{v}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{6}{v}_{0}$；所以，$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{42}}{6}{v}_{0}$；
所以，有洛倫茲力作向心力，即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可得粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{\sqrt{42}m{v}_{0}}{6Bq}$；
粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖所示，，
則有$sinθ=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{\sqrt{7}}{7}$，
要使所有粒子均不能從邊界PQ射出磁場，則PQ、MN間的距離$l≥R+Rsinθ=\frac{\sqrt{42}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{7}}{7}）$；
（3）將下板下移$（\sqrt{3}-1）d$，則兩板間的距離為$\sqrt{3}d$，粒子在電場中的加速度$a′=\frac{\sqrt{3}q{U}_{0}}{6md}$，因?yàn)閍′＜a，所以粒子豎直偏移位移小于$\frac{1}{2}d$，粒子打不到下極板上；
進(jìn)入磁場時的速度為v′，其水平分量為v′_x=v₀，豎直分量$v{′}_{y}=a′•\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2}}{6}{v}_{0}$，所以，$v′=\sqrt{v{{′}_{x}}^{2}+v{{′}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{38}}{6}{v}_{0}$；
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑$R′=\frac{mv′}{Bq}=\frac{\sqrt{38}m{v}_{0}}{6Bq}$；
同（2）相似，$sinθ′=\frac{v{′}_{y}}{v′}=\frac{\sqrt{19}}{19}$，
要使所有粒子均不能從邊界PQ射出磁場，PQ、MN間的距離$l′≥R′+R′sinθ′=\frac{\sqrt{38}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{19}}{19}）$．
答：（1）兩板間的距離d為$\frac{\sqrt{6}}{6}L$；
（2）要使所有粒子均不能從邊界PQ射出磁場，PQ、MN間的距離至少為$\frac{\sqrt{42}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{7}}{7}）$；
（3）若將下板下移$（\sqrt{3}-1）d$，則所有粒子進(jìn)入磁場后，要使所有粒子均不能從邊界PQ射出磁場，PQ、MN間的距離至少為$\frac{\sqrt{38}m{v}_{0}}{6Bq}（1+\frac{\sqrt{19}}{19}）$．

點(diǎn)評 對于同一題目改變條件后的問題，我們要分析條件改變后會引起什么變化，從什么地方開始變化，求解的時候就從改變的時刻開始重新分析計(jì)算即可．