Question

9．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，已知這四顆星均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，試求：
（1）星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）若觀測(cè)到星體的半徑為R，則該星體對(duì)自身表面產(chǎn)生的重力加速度大�。ú挥�(jì)其他星球的影響）；
（3）求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期T．

Answer 1

分析 （1）星體均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期

解答 解：（1）由星體均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑$r=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
（2）由萬(wàn)有引力的定律可知$G\frac{mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g′$
則星體表面的重力加速度$g′=G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$
（3）星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：
${F}_{有效1}^{\;}=G\frac{mm}{{a}_{\;}^{2}}•cos45°$
${F}_{有效2}^{\;}=\frac{Gmm}{（\sqrt{2}a）_{\;}^{2}}$
${F}_{向}^{\;}=2•{F}_{有1}^{\;}+{F}_{有2}^{\;}$
${F}_{向}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得周期$T=2πa\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
答：（1）星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$；
（2）若觀測(cè)到星體的半徑為R，則該星體對(duì)自身表面產(chǎn)生的重力加速度大小為$G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$；
（3）求星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期T為$2πa\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．