Question

如圖所示，在豎直平面內有一個半徑為R且光滑的四分之一圓弧軌道AB，軌道下端B與水平面BCD相切，BC部分光滑且長度大于R，C點右邊粗糙程度均勻且足夠長．現用手捏住一根長也為R、質量為m的柔軟勻質細繩的上端，使繩子的下端與A點等高，然后由靜止釋放繩子，讓繩子沿軌道下滑．重力加速度為g．求：

（1）繩子前端到達C點時的速度大��；
（2）若繩子前端在過C點后，滑行s距離后停下，而且s＞R，試計算繩子與粗糙平面間的動摩擦因數．

Answer 1

分析：繩子從A處靜止釋放，滑下光滑的圓弧軌道后，又滑上光滑水平面BC，接著進入粗糙的CD面．將繩子看成質點，只有重力做功，由機械能守恒定律可求出到達C點的速度大��；
當繩子滑上粗糙水平CD面時，在剛進入過程中，摩擦力在均勻增加，當完全進入后，摩擦力才恒定，所以運用動能定理時，注意取摩擦力的平均值．

解答：解：（1）繩子由釋放到前段達C點過程中，
由機械能守恒定律得：mg(R+0.5R)=

1

2

m

v

2 c

解得：

v

c

=

3gR

（2）繩子前端滑過C點后，其受到的摩擦力先均勻增大，其平均值為

1

2

μmg，
前端滑行R后摩擦力不變，其值為 μmg  
由動能定理得：-

1

2

μmgR-μmg(s-R)=0-

1

2

m

v

2 c

把

v

c

=

3gR

代入上式解得：μ=

3R

2s-R

答：（1）繩子前端到達C點時的速度大小

3gR

（2）繩子與粗糙平面間的動摩擦因數為

3R

2s-R

點評：當不考慮繩子長度時，可將其看成質點，但此處請注意是當繩子看成質點時的高度．而當繩子進入粗糙水平面時，不能將繩子看成質點，同時在剛進入粗糙面時，摩擦力在均勻增加．