Question

10．為提高通行效率，許多高速公路出入口安裝了電子不停車收費系統(tǒng)ETC．甲、乙兩輛汽車分別通過ETC通道和人工收費通道（MTC）駛離高速公路，流程如圖所示．假設(shè)減速帶離收費島口x=60m，收費島總長度d=40m，兩輛汽車同時以相同的速度v₁=72km/h經(jīng)過減速帶后，一起以相同的加速度做勻減速運動．甲車減速至v₂=36km/h后，勻速行駛到中心線即可完成繳費，自動欄桿打開放行；乙車剛好到收費島中心線收費窗口停下，經(jīng)過t₀=15s的時間繳費成功，人工欄打開放行．隨后兩輛汽車勻加速到速度v₁后沿直線勻速行駛，設(shè)加速和減速過程中的加速度大小相等，求：

（1）此次人工收費通道和ETC通道打開欄桿放行的時間差；
（2）兩輛汽車駛離收費站后相距的最遠距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運動的基本公式求出ETC通道勻減速時間和位移，再求出勻速時間，即為即為甲甲車從減速到欄桿打開的總時間；在人工收費通道勻減速時間和繳費時間之和，即為從減速到欄桿打開的總時間，即可求出總時間；
（2）當(dāng)乙車從收費通道中心線出發(fā)加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，與甲車達到共同速度，此時兩車相距最遠；

解答 解：（1）兩車減速運動的加速度為：
$a=\frac{{v}_{1}^{2}}{2（x+\frac7bt33lj{2}）}=\frac{2{0}_{\;}^{2}}{2×（60+\frac{40}{2}）}=2.5m/{s}_{\;}^{2}$
甲車減速到${v}_{2}^{\;}$所用時間為${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{a}=\frac{20-10}{2.5}s=4s$
走過的距離為${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{20+10}{2}×4=60m$
甲車從勻速運動到欄桿打開所用時間為
${t}_{2}^{\;}=\frac{（x+\fraclnjnddx{2}-{x}_{1}^{\;}）}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{60+\frac{40}{2}-60}{10}=2s$
甲車從減速到欄桿打開的總時間為${t}_{甲}^{\;}={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=4+2=6s$
乙車減速行駛到收費島中心線的時間為${t}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{a}=\frac{20}{2.5}s=8s$
從減速到打開欄桿的總時間為${t}_{乙}^{\;}={t}_{0}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=15+8=23s$
人工收費通道和ETC通道打開欄桿放行的時間差$△t={t}_{乙}^{\;}-{t}_{甲}^{\;}=23-6=17s$
（2）乙車從收費島中心線開始出發(fā)又經(jīng)${t}_{3}^{\;}=8s$加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，與甲車達到共同速度，此時兩車相距最遠．這個過程乙車行駛的距離與之前乙車減速行駛的距離相等
${x}_{乙}^{\;}=x+\frac7pzlvh5{2}=60+\frac{40}{2}=80m$
從收費島中心線開始，甲車先從${v}_{2}^{\;}=36km/h$加速至${v}_{1}^{\;}=72km/h$，這個時間為${t}_{1}^{\;}=4s$，然后勻速行駛
${x}_{甲}^{\;}={x}_{1}^{\;}+{v}_{1}^{\;}（{t}_{3}^{\;}+△t-{t}_{1}^{\;}）$=60+20×（8+17-4）=480m
故兩車相距的最遠距離為$△x={x}_{甲}^{\;}-{x}_{乙}^{\;}=480-80=400m$
答：（1）此次人工收費通道和ETC通道打開欄桿放行的時間差為17s；
（2）兩輛汽車駛離收費站后相距的最遠距離為400m

點評 解決本題的關(guān)鍵理清汽車在兩種通道下的運動規(guī)律，結(jié)合勻變速直線運動的位移公式和時間公式進行求解，難度不大．