Question

【題目】如圖所示，AB是傾角θ=45°的傾斜軌道，BC是一個(gè)水平軌道（物體經(jīng)過B處時(shí)無(wú)機(jī)械能損失），AO是一豎直線，O、B、C在同一水平面上，豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道最低點(diǎn)與水平面相切與C點(diǎn)，已知A、O兩點(diǎn)間的距離h=1m，B、C兩點(diǎn)間的距離d=2.0m，圓形軌道的半徑R=1m。一質(zhì)量m=2kg的小物體，從與O點(diǎn)水平距離x0=3.6m的P點(diǎn)水平拋出，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，最后進(jìn)入圓形軌道。小物件與傾斜軌道AB、水平軌道BC之問的動(dòng)摩擦因數(shù)都是μ=0.5，g取10m/s2）。

(1)求小物體從P點(diǎn)拋出時(shí)的速度v0和P點(diǎn)的高度H；

(2)求小物體運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最高點(diǎn)D時(shí)，對(duì)圓形軌道的壓力；

(3) 若小物體從Q點(diǎn)水平拋出，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，最后進(jìn)入圓形軌道，且小物體不能脫離軌道，求Q、O兩點(diǎn)的水平距離x的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)6m/s，2.8m；(2)N=24N；(3)0.5m＜x≤15m或x≥3m

【解析】

(1)小物體從P到A做平拋運(yùn)動(dòng)，由題知，物體經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)速度平行于斜面向下，設(shè)物體經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)豎直分速度大小為vy，如圖所示

則有

vy＝v0tan45°＝v0，

又

可得

，

水平距離

聯(lián)立解得

v0＝6m/s，H＝2.8m

(2)物體從P到D的過程，由動(dòng)能定理得：

在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得

聯(lián)立解得

N＝24N

由牛頓第三定律知，物體對(duì)圓形軌道的壓力大小為24N。

(3)要保證小物體不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：第一種情況，能通過最高點(diǎn)D，第二種情況，所能到達(dá)的最高點(diǎn)小于等于圓心的高度。

第一種情況，小球能通過最高點(diǎn)D時(shí)，設(shè)O、Q的水平距離為x1，恰好通過圓形軌道的最高點(diǎn)D。小物體從Q點(diǎn)水平拋出后，恰好從A點(diǎn)以平行于斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道時(shí)，根據(jù)第1問可得小物體到達(dá)A點(diǎn)的速度

恰好通過圓形軌道的最高點(diǎn)D時(shí)，只有重力充當(dāng)向心力，得

由動(dòng)能定理得

代入數(shù)據(jù)解得

x1＝3m

小物體能通過最高點(diǎn)D，所以O、Q的水平距離

x≥x1＝3m

第二種情況，所能到達(dá)的高度小于等于圓心的高度時(shí)，設(shè)O、Q的水平距離為x2，恰好到達(dá)圓心高度。小物體從Q點(diǎn)水平拋出后，恰好從A點(diǎn)以平行于斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道時(shí)，根據(jù)第1問可得小物體到達(dá)A點(diǎn)的速度

恰好到達(dá)圓心的高度時(shí)，末速度為0，由動(dòng)能定理得

代入數(shù)據(jù)解得

x2＝1.5m

設(shè)O、Q的水平距離為x3時(shí)，恰好到達(dá)圓形軌道處，小物體從Q點(diǎn)水平拋出后，恰好從A以平行于斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道時(shí)，根據(jù)第1問可得小物體到達(dá)A點(diǎn)的速度

恰好到達(dá)圓形軌道時(shí)，到C點(diǎn)的速度為0。由動(dòng)能定理得

代入數(shù)據(jù)解得

x3＝0.5m

小物體能進(jìn)入圓形軌道，不脫離，O、Q的水平距離應(yīng)滿足：

0.5m<x≤1.5m

綜上所述，若小物體從Q點(diǎn)水平拋出，恰好從A點(diǎn)以平行斜面的速度進(jìn)入傾斜軌道，最后進(jìn)入圓形軌道，且小物體不能脫離軌道，Q、O兩點(diǎn)的水平距離x的取值范圍為

0.5m<x≤1.5m或x≥3m