Question

如圖所示，半徑為2R的

1

4

圓弧光滑軌道AB和半徑為R的

1

4

圓弧粗糙軌道BC相切于B點，兩軌道置于豎直平面內，O、O′分別為兩圓孤的圓心，O、O′、B三點在一條豎直線上，在C點的上方緊靠C點處有一厚度不計的水平旋轉平臺，平臺轉動角速度為，沿平臺的一條直徑上開有兩個小孔P、Q，兩孔離軸心距離相等，旋轉時兩孔均能到達C點正上方，一質量為m的小球自A點由靜止開始下滑，滑過C點后恰能無碰撞的穿過小孔P，后又恰好無碰撞的穿過小孔Q后落入軌道中，不計空氣阻力．求：
（1）小球第一次滑過B點前、后瞬時對軌道的壓力大��；
（2）小球第一次滑過C點時的速度大小；
（3）小球第一次經(jīng)過BC段的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）小球從A點處滑至B點時速度為v_B，由動能定理得：
mg?2R=

1

2

mv_B²，
小球從A點處滑至B點前瞬時，對軌道的壓力為N₁，由牛頓第二定律得：
N₁-mg=m

v 2B

2R

小球從A點處滑至B點后瞬時，對軌道的壓力為N₂，由牛頓第二定律得：
N₂-mg=m

v 2B

R

解得：N₁=3mg，N₂=5mg
（2）小球從C點處滑出后，先做勻減速上升，后自由落體，根據(jù)題意得小球在空中的運動時間
t=

(2n+1)π

ω

  （n=0，1，2，3…）
小球第一次向上滑過C點時的速度v_C=

gt

2

，
v_C=

g(2n+1)π

2ω

，（n=0，1，2，3…）
（3）小球從A至C的過程中，小球克服摩擦力做功為W，由動能定理得：
mgR-W═

1

2

mv_C²
解得：W=mgR-

mg2π2(2n+1)2

8ω2

，（n=0，1，2，3…）
答：（1）小球第一次滑過B點前、后瞬時對軌道的壓力大小分別是3mg，5mg；
（2）小球第一次滑過C點時的速度大小是 

g(2n+1)π

2ω

，（n=0，1，2，3…）；
（3）小球第一次經(jīng)過BC段的過程中克服摩擦力所做的功是mgR-

mg2π2(2n+1)2

8ω2

，（n=0，1，2，3…）．