Question

18．如圖所示，光滑桿AB長為L，B端固定一根勁度系數(shù)為k、原長為l₀的輕彈簧，質(zhì)量為m的小球套在光滑桿上并與彈簧的上端連接．OO′為過B點的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ．
（1）桿保持靜止狀態(tài)，讓小球從彈簧的原長位置靜止釋放，求小球釋放瞬間的加速度大小a
（2）桿保持靜止狀態(tài)，讓小球從彈簧的原長位置靜止釋放，求小球速度最大時彈簧的壓縮量△l₁；
（3）當(dāng)球隨桿一起繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動時，彈簧伸長量為△l₂，求勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）（2）小球從彈簧的原長位置靜止釋放時，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，小球速度最大時其加速度為零，根據(jù)合力為零和胡克定律求解△l₁；
（3）設(shè)彈簧伸長△l₂時，對小球受力分析，根據(jù)向心力公式列式求解．

解答 解：（1）小球從彈簧的原長位置靜止釋放時，根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ=ma解得a=gsinθ
（2）小球速度最大時其加速度為零，則k△l₁=mgsinθ解得$△{l_1}=\frac{mgsinθ}{k}$
（3）設(shè)彈簧伸長△l₂時，球受力如圖所示，水平方向上有${F_N}sinθ+k△{l_2}cosθ=m{ω^2}（{l_0}+△{l_2}）cosθ$
豎直方向上有F_Ncosθ-k△l₂sinθ-mg=0
解得$ω=\sqrt{\frac{{mgsinθ+k△{l_2}}}{{m（{l_0}+△{l_2}）{{cos}^2}θ}}}$
答：（1）桿保持靜止狀態(tài)，讓小球從彈簧的原長位置靜止釋放，小球釋放瞬間的加速度大小a為gsinθ
（2）桿保持靜止狀態(tài)，讓小球從彈簧的原長位置靜止釋放，小球速度最大時彈簧的壓縮量△l₁為$\frac{mgsinθ}{k}$
（3）當(dāng)球隨桿一起繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動時，彈簧伸長量為△l₂，勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω為$\sqrt{\frac{mgsinθ+k△{l}_{2}}{m（{l}_{0}+△{l}_{2}）co{s}^{2}θ}}$

點評 本題考查了牛頓第二定律、胡克定律與圓周運動的綜合，要明確小球做勻速轉(zhuǎn)動時，靠合力提供向心力，由靜止釋放時，加速度為零時速度最大