Question

19．如圖所示，ABC為一透明材料制成的柱形光學(xué)元件的橫截面，該種材料的折射率n=$\sqrt{3}$，AC是一半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧，O為圓弧面圓心，ABCO構(gòu)成正方形，在O處有一點(diǎn)光源，從點(diǎn)光源射入圓弧AC的光線，進(jìn)入透明材料后首次射向AB或BC界面直接射出．下面的問題只研究進(jìn)入透明材料后首次射向AB或BC界面的光線，已知AB面上的P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．求：
（1）從P點(diǎn)射出的光線的折射角；
（2）AB和BC截面上沒有光線射出部分的總長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出射到P點(diǎn)的光線的入射角，再由折射定律求折射角．
（2）設(shè)材料的臨界角為C，射向M點(diǎn)的光線恰好發(fā)生全反射，根據(jù)sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，再結(jié)合幾何知識(shí)求解．

解答 解：（1）設(shè)射向P點(diǎn)的光線入射角為θ₁，由幾何關(guān)系有：θ₁=∠AOP=30°
根據(jù)折射定律有：$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$=$\frac{1}{n}$
解得：θ₂=60°
（2）設(shè)材料的臨界角為C，射向M點(diǎn)的光線恰好發(fā)生全反射，則有：sinC=$\frac{1}{n}$
AB截面沒有光線射出部分的長(zhǎng)度為：BM=（1-tanC）=（1-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$）R
根據(jù)對(duì)稱性知，兩截面上沒有光線射出部分的總長(zhǎng)度為：l=2（1-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$）R
代入解得：l=（2-$\sqrt{2}$）R或0.59R
答：（1）從P點(diǎn)射出的光線的折射角是60°；
（2）AB和BC截面上沒有光線射出部分的總長(zhǎng)度是0.59R．

點(diǎn)評(píng) 解決本題關(guān)鍵是掌握全反射的條件和臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解．