Question

10．如圖，位于豎直水平面內的軌道由拋物線ab、圓心為O的圓弧bcd和斜桿de組成，ab、de分別與圓弧相切于b、d兩點，a點為拋物線頂點，b、d兩點等高，c點為圓弧的最低點，已知a、b兩點間的豎直高度h=1.5m，水平距離x=2.25m，圓弧的半徑R=0.1m，現將一質量為m的小環(huán)套在軌道上，從a點以初速度v0水平向右拋出，小環(huán)與ab軌道間恰好沒有相互作用力，此環(huán)沿軌道第一次到達與a點同高的最高點P，小環(huán)與斜桿間的動摩擦因數恒為μ，不計其他處摩擦，取g=10m/s²，求：
（1）v₀的值；
（2）μ的值；
（3）小環(huán)第二次通過c點時的速度大小v．（保留3位有效數字）

Answer 1

分析 （1）由ab為物體做平拋運動的軌跡，根據位移公式求解初速度；
（2）根據幾何關系求得de的傾斜角，然后對a到P的運動過程應用動能定理即可求解；
（3）根據幾何關系求得c到P的豎直高度，然后對小環(huán)從P到c的運動過程應用動能定理即可求解．

解答 解：（1）小環(huán)與ab軌道間恰好沒有相互作用力，那么小環(huán)做平拋運動，軌跡為ab，所以有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t，所以，${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{x}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\frac{3}{4}\sqrt{30}m/s=4.11m/s$；
（2）ab、de分別與圓弧相切于b、d兩點，那么de的傾斜角和拋物線ab在b處切線的傾斜角；
以a為坐標原點，則ab拋物線的方程為$y=-\frac{8}{27}{x}^{2}$，那么在b處切線的斜率為為$-\frac{8}{27}×2×2.25=-\frac{4}{3}$，故傾斜角為53°；所以，de的傾斜角為53°；
小環(huán)從a到P的運動過程只有摩擦力作用，故由動能定理可得：$-μmgcos53°×\frac{h}{sin53°}=-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，$μ=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gh}tan53°=0.75$；
（3）小環(huán)從P滑到C過程只有重力、摩擦力做功，又有在de上運動，摩擦力大小不變，故下滑時摩擦力做功和上滑時相同；
de的傾斜角為53°，圓弧的半徑R=0.1m，故c到bd的豎直高度為h′=R-Rsin37°=0.4R=0.04m；
 那么，由動能定理可得：$mg（h+h′）-μmghcot53°=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，$v=\sqrt{2g（h+h′-μhcot53°）}=3.73m/s$；
答：（1）v₀的值為4.11m/s；
（2）μ的值為0.75；
（3）小環(huán)第二次通過c點時的速度大小v為3.73m/s．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．