Question

10．如圖所示，有一內(nèi)表面光滑的金屬盒，底面長為L=1.5m，質(zhì)量為m₁=1kg，放在水平面上，與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，在盒內(nèi)最右端放可看做質(zhì)點的光滑金屬球（半徑忽略），質(zhì)量為m₂=1kg，現(xiàn)在盒的左端給盒施加一個水平?jīng)_量I=4N•s，（盒壁厚度，球與盒發(fā)生碰撞的時間和機械能損失均忽略不計）．g取10m/s²，求：（1）金屬盒能在地面上運動多遠(yuǎn)？
（2）金屬盒從開始運動到最后靜止所經(jīng)歷的時間多長？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動量定理求出金屬盒獲得的速度．金屬盒所受的水平面的摩擦力為F=μ（m₁+m₂）g=4N，金屬盒與金屬球之間的碰撞沒有能量損失，且金屬盒和金屬球的最終速度都為0，以金屬盒和金屬球為研究對象，運用動能定理即可求解金屬盒能在地面上運動的距離；
（2）球與盒發(fā)生碰撞的時間和能量損失均忽略不計，即發(fā)生了彈性碰撞，根據(jù)動量守恒和機械能守恒可求出碰后兩者的速度，由于質(zhì)量相等，每碰撞一次，兩者就會交換速度，逐次分析碰撞間隙盒前進的位移，分析能發(fā)生幾次碰撞，再根據(jù)動量定理求時間．

解答 解：（1）由于沖量作用，m1獲得的速度為：
v=$\frac{I}{{m}_{1}}$=$\frac{4}{1}$=4m/s
金屬盒所受的摩擦力為：
F=μ（m₁+m₂）g=0.2×（1+2）×10N=4N，
由于金屬盒與金屬球之間的碰撞沒有能量損失，且金屬盒和金屬球的最終速度都為0，以金屬盒和金屬球為研究對象，由動能定理得：
-Fs=0-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$  
解得：s=2m
（2）當(dāng)盒前進s₁=1.5m時與球發(fā)生碰撞，設(shè)碰前盒的速度為v₁，碰后速度為v₁′，球碰后速度為v₂，則對盒，應(yīng)用動能定理：
-Fs₁=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，
解得：v₁=2m/s
由于碰撞中動量守恒、機械能守恒，取向右為正方向，則有：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂，
$\frac{1}{2}$ m₁v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₁′²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²
聯(lián)立以上方程得：v₁′=0，v₂=2m/s
當(dāng)球前進1.5m時與盒發(fā)生第二次碰撞，碰撞前球的速度為2m/s，盒子的速度為0，碰撞后球的速度為0，盒子的速度變?yōu)関₂=2m/s，
以金屬盒為研究對象，利用動能定理得：
-Fs₂=0-+$\frac{1}{2}$m₁v₂²，
解得：s₂=0.5m
所以不會再與球碰，
設(shè)盒子前進s₁=1.5m所用時間為t₁，前進s₂=0.5m所用時間為t₂，對盒子，運用動量定理得：
-Ft₁=m₁v₁-m₁v，
-Ft₂=0-m₁v₂，且v₁=v₂=2m/s
代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.5s，t₂=0.5s
在盒兩次運動之間還有一段時間t₃為小球在運動，則有：
t₃=$\frac{{s}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{1.5}{2}$=0.75s
則金屬盒從開始運動到最后靜止所經(jīng)歷的時間為：
t=t₁+t₂+t₃=1.75s
答：（1）金屬盒能在地面上運動2m．
（2）金屬盒從開始運動到最后靜止所經(jīng)歷的時間為1.75s．

點評 解答本題的關(guān)鍵是要知道碰撞過程中動量和機械能都守恒，兩個物體質(zhì)量相等，碰撞后會交換速度．要涉及力時間上的效應(yīng)時要優(yōu)先動量定理．