Question

17世紀初，開普勒提出的行星運動定律指出了行星運動的規(guī)律后，人們迫切想了解這一規(guī)律的本質(zhì)，之后很多的學(xué)者提出各種觀點，最終由牛頓的萬用引力定律揭開了天體運動的神秘面紗．牛頓首先從太陽對行星的引力出發(fā)，憑借其運動三定律猜測行星之所以圍繞太陽運轉(zhuǎn)是因為其受到了太陽的引力，并導(dǎo)出了引力公式．牛頓的思想進一步解放，指出這一引力與使月球圍繞地球運動的力、使蘋果落地的力應(yīng)遵循相同的規(guī)律，并給出了著名的“月-地檢驗”，為萬有引力定律的得出提供了強有力的依據(jù)．“月-地檢驗”的基本思路可設(shè)置為以下兩個問題，已知地球半徑為6400km，月地距離約為地球半徑的60倍，請再結(jié)合下面給出的已知量計算：（結(jié)果均保留三位有效數(shù)字）
①已知月球的公轉(zhuǎn)周期為27.3天，據(jù)此求月球的向心加速度？
②已知地球表面的重力加速度為9.8m/s²，試據(jù)此求月球的向心加速度？

Answer 1

【答案】分析：①月球的公轉(zhuǎn)周期為T=27.3天，軌道半徑r等于月地距離，月球繞地球做勻速圓周運動，由a_n=求出月球的向心加速度；
②月球的向心加速度等于月球軌道處的重力加速度，由重力近似等于地球的萬有引力，得到月球軌道處的重力加速度與地球表面的重力加速度關(guān)系，即可求出月球的向心加速度．
解答：解：①由題，月球的公轉(zhuǎn)周期為T=27.3天=27.3×24×3600s≈2.36×10⁶s，軌道半徑r=60×6400×10³=3.84×10⁸m，則
月球的向心加速度為a_n=
供稿解得，a_n=0.00272m?s^-2．
②，設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體的質(zhì)量為m，物體與地球的距離為r，根據(jù)重力近似等于萬有引力得
mg=G，得g=
設(shè)地球表面的重力加速度為g，地球的半徑為R，月球軌道處的重力加速度為g，則
 
得 g===0.00272 m?s^-2．
故月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．
答：①已知月球的公轉(zhuǎn)周期為27.3天，據(jù)此得到的月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．
②已知地球表面的重力加速度為9.8m/s²，據(jù)此求出月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．
點評：本題考查對牛頓“月-地檢驗”基本思路的理解，分別圓周運動向心加速度公式和萬有引力定律兩種方式求解．