Question

13．如圖所示，內(nèi)壁光滑、半徑為R的圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為m₂的小球靜止在軌道最低點(diǎn)，另一質(zhì)量為m₁的小球（兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)）從左側(cè)內(nèi)壁與圓心O等高處由靜止釋放，第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與m₂碰撞，碰后m₂小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，而m₁小球沿右側(cè)內(nèi)壁上升的最大高度為$\frac{1}{2}$R．求：
（1）$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$₁；
（2）求第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)，m₂小球和m₁小球?qū)�軌道的壓力之�?\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$．（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球m₁的小球下落過(guò)程分析，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得碰前的速度，再分別根據(jù)碰后兩球的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，求出碰后各自的速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式即可求得質(zhì)量之比；
（2）對(duì)碰后兩球受力分析，根據(jù)向心力公式即可求得壓力大小之比．

解答 解：（1）對(duì)m₁的小球下落過(guò)程分析，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知：
m₂gR=$\frac{1}{2}$m₂v²
解得：v=$\sqrt{2gR}$；
對(duì)m₁球受力分析小球恰上升高度為$\frac{1}{2}$R，則根據(jù)機(jī)械能守恒可知：
m₁g$\frac{1}{2}R$=$\frac{1}{2}$m₁v₁²
解得：v₁=$\sqrt{gR}$
m₂恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)有：m₂g=m₂$\frac{{v'}_{2}^{2}}{R}$
對(duì)于上升過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律可知：
m₂g•2R=$\frac{1}{2}$m₂v₂²-$\frac{1}{2}$m₂v'₂²
聯(lián)立解得：v₂=$\sqrt{5gR}$
設(shè)向右為正方向，兩球碰撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律可知
m₁v=m₁v₁+m₂v₂
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\sqrt{5}$（$\sqrt{2}$+1）
（2）根據(jù)向心力公式可知，對(duì)m₁球有：
F₁-m₁g=m₁$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
對(duì)m₂球有：
F₂-m₂g=m₂$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$=$\frac{3{m}_{2}}{{m}_{1}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}（\sqrt{2}+1）}$=$\frac{3\sqrt{5}（\sqrt{2}-1）}{5}$
答：（1）$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$大小為$\sqrt{5}$（$\sqrt{2}$+1）
（2）求第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)，m₂小球和m₁小球?qū)�軌道的壓力之�?\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$為$\frac{3\sqrt{5}（\sqrt{2}-1）}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，以及向心力公式等基本內(nèi)容，要注意正確分析過(guò)程，明確在碰撞過(guò)程中內(nèi)力遠(yuǎn)大小外力可以視為動(dòng)量守恒，同時(shí)再注意小球通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件分析．