Question

4．如圖所示，在高H=5.0m的光滑水平臺(tái)左端水平放置一兩輪間距d=6.0m的傳送帶．可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊a、b之間用細(xì)繩相連，其間有一處于壓縮狀態(tài)的輕質(zhì)彈簧（滑塊與彈簧不拴接），開(kāi)始時(shí)整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)．某時(shí)刻裝置中的細(xì)線忽然斷開(kāi)，滑塊a、b被彈出，其中滑塊a以速度v₀=5.0m/s向左滑上傳送帶，滑塊b沿豎直放置的半徑為R=0.1m的光滑圓形管道做圓周運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)最高點(diǎn)C．已知滑塊a、b的質(zhì)量分別為m_a=1.0kg，m_b=2.0kg，滑塊a與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，空氣阻力不計(jì)，g=10m/s²．求：
（1）滑塊a、b被彈出時(shí)，滑塊b的速度v_b及細(xì)繩斷開(kāi)前彈簧彈性勢(shì)能E_p；
（2）滑塊b通過(guò)圓形管道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力；
（3）試分析傳送帶的速度滿足什么條件時(shí)，滑塊a離開(kāi)傳送帶左邊緣落地的水平距離最大，并求出最大距離．

Answer 1

分析 （1）滑塊a、b被彈出時(shí)，a與b組成的系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒，由此求出b的速度；由功能關(guān)系即可求出細(xì)繩斷開(kāi)前彈簧彈性勢(shì)能E_p；
（2）由機(jī)械能守恒定律求滑塊b到達(dá)C點(diǎn)的速度，然后根據(jù)合力提供向心力求解在最高點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)滑塊的壓力，從而得到滑塊對(duì)軌道的壓力．
（3）滑塊a被水平向左拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式求出滑塊a做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移與初速度的關(guān)系，由此判斷出水平拋出的距離最大的條件，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出最大距離．

解答 解：（1）彈開(kāi)前后，a、b系統(tǒng)動(dòng)量守恒，選取向左為正方向，則：m_av₀+m_bv_b=0
解得：v_b=-2.5m/s，負(fù)號(hào)表示b運(yùn)動(dòng)的方向向右
又由能量守恒知，彈簧彈性勢(shì)能：${E}_{P}=\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：E_P=18.75J
（2）滑塊b通過(guò)圓形管道到最高點(diǎn)C過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}=\frac{1}{2}{m}_{v}_{c}^{2}+{m}_g•2R$
在最高點(diǎn)處，由牛頓第二定律有：${m}_g+{F}_{C}=\frac{{m}_{v}_{c}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_c=25N
又由牛頓第三定律知：滑塊b對(duì)管道上壁有向上的壓力，大小為25N． 
（3）a做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平拋規(guī)律有：H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x=$vt=v•\sqrt{\frac{2H}{g}}$
可知物塊a離開(kāi)傳送帶的初速度越大，則平拋的距離越遠(yuǎn)；
經(jīng)分析知，若傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，且滑塊a能一直勻加速運(yùn)動(dòng)直至平拋出，滑塊a離開(kāi)傳送帶左邊緣落地的水平距離最大．
滑塊a在傳送帶上勻加速運(yùn)動(dòng)：a=μg=2 m/s²     
設(shè)出傳送帶時(shí)速度為v，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${v}^{2}-{v}_{0}^{2}=2ad$    
解得：v=7 m/s
故當(dāng)傳送帶時(shí)速度v≥7m/s時(shí)，滑塊a離開(kāi)傳送帶左邊緣落地的水平距離最大．
水平方向：x=$vt=v•\sqrt{\frac{2H}{g}}$=7×$\sqrt{\frac{2×5.0}{10}}$=7m
答：（1）滑塊a、b被彈出時(shí)，滑塊b的速度大小為2.5m/s，方向向左，細(xì)繩斷開(kāi)前彈簧彈性勢(shì)能是18.75J；
（2）滑塊b通過(guò)圓形管道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力是25N；
（3）傳送帶逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)并且速度大于等于7m/s時(shí)，滑塊a離開(kāi)傳送帶左邊緣落地的水平距離最大，最大距離是7m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的物理規(guī)律，同時(shí)能結(jié)合機(jī)械能守恒定律、向心力和平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式研究．