Question

如圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)．小球A、B質(zhì)量分別為m、3m．A球從左邊某高處由靜止釋放，并與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞，碰撞后A球被反向彈回，且A、B球能達(dá)到的最大高度均為

1

4

R．重力加速度為g．試求：
（1）碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度大小和B球?qū)�軌道的壓力大�。?br />（2）碰前A球的釋放點(diǎn)多高？
（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，碰撞過(guò)程中，A、B球組成的系統(tǒng)有無(wú)機(jī)械能損失？若有損失，求出損失了多少？

Answer 1

分析：（1）由機(jī)械能守恒定律，得到碰撞后小球的速度大小，根據(jù)牛頓第二定律求解
（2）碰撞過(guò)程滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律，列出等式，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解碰前A球的釋放點(diǎn)高度．
（3）找出碰前和碰后系統(tǒng)的機(jī)械能，進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）因 A、B球能達(dá)到的最大高度均為

1

4

R．
由機(jī)械能守恒定律，得到碰撞后小球的速度大小為：

1

2

mv2=

1

4

mgR，
v_A=v_B=

gR 2

，
設(shè)B球受到的支持力大小為N，根據(jù)牛頓第二定律：
N-mg=m

v 2 B

R

，
得N=

3

2

mg．
由牛頓第三定律，小球B對(duì)軌道的壓力大小為：N′=N=

3

2

mg．
（2）設(shè)A球碰前的速度方向?yàn)檎�方向，碰撞過(guò)程滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律，
mv₀=-mv_A+3 mv_B，代入v_A與 v_B的值，有：v₀=

2gR

，
如果A球的釋放點(diǎn)高度為h，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，mgh=

1

2

mv

2 0

，
解得：h=R．
（3）由前面解出的結(jié)果，碰前系統(tǒng)的機(jī)械能E₁=mgR，碰后系統(tǒng)的機(jī)械能為E₂=

1

4

mgR+

1

4

×3mgR=mgR，
故，E₁=E₂，無(wú)機(jī)械能損失．
答：（1）碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度大小是v_A=v_B=

gR 2

，B球?qū)�軌道的壓力大小�?span id="j3bdmuy" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3

2

mg；
（2）碰前A球的釋放點(diǎn)高度是R．
（3）碰撞過(guò)程中，A、B球組成的系統(tǒng)無(wú)機(jī)械能損失．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了機(jī)械能守恒定律及動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，難度適中．