Question

16．如圖所示，兩條平行的金屬導(dǎo)軌相距L=lm，金屬導(dǎo)軌的傾斜部分與水平方向的夾角為37°，整個裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中．金屬棒MN和PQ的質(zhì)量均為m=0.2kg，電阻分別為R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，PQ置于光滑的傾斜導(dǎo)軌上，兩根金屬棒均與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．從t=0時刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由靜止開始以a=1m/s²的加速度向右做勻加速直線運動，PQ則在平行于斜面方向的力F₂作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)．t=3s時，PQ棒消耗的電功率為8W，不計導(dǎo)軌的電阻，水平導(dǎo)軌足夠長，MN始終在水平導(dǎo)軌上運動．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）t=0～3s時間內(nèi)通過MN棒的電荷量；
（3）求t=6s時F₂的大小和方向；
（4）若改變F₁的作用規(guī)律，使MN棒的運動速度v與位移s滿足關(guān)系：v=0.4s，PQ棒仍然靜止在傾斜軌道上．求MN棒從靜止開始到s=5m的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)3s時PQ棒消耗的功率求出電路中的電流，結(jié)合閉合電路歐姆定律求出電動勢，根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式以及3s末MN棒的速度求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律以及閉合電路歐姆定律，結(jié)合電流的定義式求出通過MN棒的電荷量．
（3）根據(jù)速度時間公式求出6s末MN棒的速度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式和閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，對PQ棒分析，根據(jù)共點力平衡，結(jié)合安培力的大小求出F₂的大小和方向．
（4）抓住安培力與速度成正比得出安培力與位移成正比，結(jié)合平均安培力的大小，求出克服安培力做功，從而得出系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）3s末MN棒的速度為：v₁=at₁=1×3m/s=3m/s，
切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv₁，
根據(jù)歐姆定律得：E=I（R_MN+R_PQ），
又P=I²R_PQ．
代入數(shù)據(jù)得：B=2T．              
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：$\overline{E}=\frac{△φ}{△t}$，
則電荷量為：$q=\frac{\overline E}{{（{R_{MN}}+{R_{PQ}}）}}△t=\frac{△φ}{{（{R_{MN}}+{R_{PQ}}）}}$，
代入數(shù)據(jù)可得：q=3C．
（3）6s時MN棒的速度為：v₂=at₂=1×6m/s=6m/s，
產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv₂=2×1×6V=12V，
電路中的電流為：${I_2}=\frac{E}{{（{R_{MN}}+{R_{PQ}}）}}=4A$，
則PQ棒所受的安培力為：F_安=BI₂L=2×4×1N=8N．
規(guī)定沿斜面向上為正方向，對PQ進(jìn)行受力分析可得：${F_2}+{F_安}cos{37^0}=mgsin{37^0}$，
代入數(shù)據(jù)：F₂=-5.2N  （負(fù)號說明力的方向沿斜面向下）．
（4）MN棒做變加速直線運動，當(dāng)s=5m時，v_t=0.4s=0.4×5m/s=2m/s，
因為速度v與位移s成正比，所以電流I、安培力也與位移s成正比，
安培力做功為：W_安=$-\frac{1}{2}•BL\frac{BL{v}_{t}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}•s$=$-\frac{1}{2}×2×1×\frac{2×1×2}{3}×5J=-\frac{20}{3}J$，-
則系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為：$Q=-{W_安}=\frac{20}{3}J$．
答：（1）1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為2T；
（2）t=0～3s時間內(nèi)通過MN棒的電荷量為3C；
（3）t=6s時F₂的大小為5.2N，方向沿斜面向下；
（4）系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為$\frac{20}{3}J$．

點評 本題是雙桿類型，分別研究它們的情況是基礎(chǔ)，運用力學(xué)和電路、電磁感應(yīng)的規(guī)律研究MN棒，其中對于感應(yīng)電荷量，要熟悉一般表達(dá)式q=$n\frac{△Φ}{{R}_{總}}$，知道△φ與棒的位移有關(guān)．對于功，動能定理是常用的求解方法，本題關(guān)鍵要抓住安培力與位移是線性關(guān)系，安培力的平均值等于初末時刻的平均值