Question

10．如圖所示，兩根互相平行的光滑金屬導軌傾斜放置，導軌平面與水平面夾角為30°，導軌間距L=1m，電阻忽略不計．垂直導軌的虛線間有一勻強磁場，磁感應強度大小B=0.5T，方向垂直導軌平面向下，磁場區(qū)域的寬度d=0.8m，導體棒a質量m_a=0.25kg，電阻R_a=0.5Ω，導體棒b的質量m_b=0.05kg，電阻R_b=1.5Ω，它們分別從圖中M，N處同時由靜止釋放，b恰好勻速穿過磁場區(qū)域，且當b剛穿過磁場時a正好進入磁場，重力加速度g=10m/s²，不計a，b棒之間的相互作用，導體棒始終與導軌垂直且接觸良好，求：
（1）b棒進入磁場時的速度大小；
（2）a棒剛進入磁場時兩端的電壓；
（3）為保持a棒以進入時的加速度做勻加速運動，需對a棒施加平行于導軌向下的外力F作用，求F隨時間t的變化關系．

Answer 1

分析 （1）因為b棒進入磁場后做勻速直線運動，所以受力平衡，再結合閉合電路歐姆定律以及法拉第電磁感應定律E=BLv，聯立求解即可；
（2）利用b棒在磁場中的勻速直線運動，求出其在磁場中運動時間，根據b剛穿過磁場時a正好進入磁場，利用運動學規(guī)律可求a棒進入磁場時的速度，進而求解a棒進入磁場時切割磁感線產生的感應電動勢，再根據串聯分壓公式，即可求解a棒剛進入磁場時兩端的電壓；
（3）分析可知：隨著速度的均勻增加可知安培力F_安也逐漸增大，要保證合外力為一定值，F也應逐漸增大．根據牛頓第二定律求出a棒剛進入磁場時的加速度，結合運動學規(guī)律，求出a棒進入磁場t時間的速度，t時刻對a棒運用牛頓第二定律，對整個回路運用閉合電路歐姆定律，聯立即可求解F與t的關系式．

解答 解：（1）當b棒剛進入磁場時，產生的感應電動勢為：E=BLv ①
由閉合電路歐姆定律得：E=I（R_a+R_b） ②
由力學平衡條件得：m_bgsin30°=BIL ③
聯立①②③式，代入數據解得：v=2m/s ④
（2）b棒在磁場運動的時間為t_b，則有：d=vt_b ⑤
a、b棒在磁場外運動時，速度總是相等的，b棒進入磁場后，a棒繼續(xù)加速t時間而進入磁場，a棒進入磁場時的速度為v_a，
則：v_a=v+gt_bsin30° ⑥
此時，a棒產生的電動勢為：E_a=BLv_a ⑦
其兩端的電壓為：U=$\frac{{R}_}{{R}_{a}+{R}_}$E ⑧
聯立④⑤⑥⑦⑧式，代入數據解得：U=1.5v
（3）a棒剛進入磁場時，根據牛頓第二定律可得：m_agsin30°-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{a}{+R}_}$=m_aa ⑨
a棒進入磁場后t時刻的速度：v₂=v_a+at ⑩
根據閉合電路歐姆定律可得此時電流：I=$\frac{BL{v}_{2}}{{R}_{a}+{R}_}$⑪
t時刻，對a棒運用牛頓第二定律得：F+m_agsin30°-BIL=m_aa⑫
聯立⑨⑩⑪⑫，代入數據后得：F=$\frac{3}{8}$t=0.375t
答：（1）b棒進入磁場時的速度大小為2m/s；
（2）a棒剛進入磁場時兩端的電壓為1.5v；
（3）為保持a棒以進入時的加速度做勻加速運動，需對a棒施加平行于導軌向下的外力F作用，F隨時間t的變化關系為F=0.375t．

點評 本題考查電磁感應導體棒切割磁場模型，難度不大，但過程較多，要注意分好過程，針對每一個過程的運動形式選擇合適的規(guī)律解決；本題要求大家熟練掌握法拉第電磁感應定律、牛頓第二定律、勻變速直線運動的規(guī)律以及閉合電路歐姆定律的綜合運用，對于第三問這類求表達式的問題，可以理解為，將其中一個量作為已知去求解另一個量，所以本題第三問可理解為：為保持a棒以進入時的加速度做勻加速運動，求a棒進入磁場后t時刻力F的大�。�