Question

17．如圖所示，BDC是豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓形軌道，質(zhì)量為m的小球，在水平外力作用下，由靜止開始從水平軌道的A點出發(fā)做勻加速直線運動，到達(dá)B點時撤消外力（此時地面對小球的支持力為重力的7倍）．小球沖上軌道，恰能維持在軌道上做圓周運動，到達(dá)最高點C后拋出，最后落回到原來的出發(fā)點A處，（小球可看做質(zhì)點，重力加速度為g）試求：
（1）小球從C點落回A點的過程中的重力的平均功率；
（2）小球在AB段運動的加速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)下降的高度求出平拋的時間和重力做功的大小，結(jié)合平均功率的公式求出小球從C點落回A點的過程中的重力的平均功率；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出C點的速度，結(jié)合平拋運動的時間求出AB的距離，根據(jù)牛頓第二定律求出B點的速度，結(jié)合速度位移公式求出小球在AB段的加速度大�。�

解答 解：（1）小球恰能通過最高點，根據(jù)mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$得，${v}_{C}=\sqrt{gR}$．
小球從C點落回A點的過程中，重力做功W=2mgR，
根據(jù)2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，運動的時間t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
則重力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{2mgR}{\sqrt{\frac{4R}{g}}}$=$mg\sqrt{gR}$．
（2）AB段的位移x=${v}_{C}t=\sqrt{gR}\sqrt{\frac{4R}{g}}=2R$，
在B點，根據(jù)牛頓第二定律得，$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，N=7mg，
解得${v}_{B}=\sqrt{6gR}$．
根據(jù)速度位移公式得，小球在AB段的加速度a=$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2x}=\frac{6gR}{4R}=1.5g$．
答：（1）小球從C點落回A點的過程中的重力的平均功率為$mg\sqrt{gR}$；
（2）小球在AB段運動的加速度為1.5g．

點評 本題考查了圓周運動和平拋運動的綜合運用，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．