Question

如圖所示，輕質(zhì)彈簧將質(zhì)量為m的小物塊連接在質(zhì)量為M(M=3 m)的光滑框架內(nèi).小物塊位于框架中心位置時(shí)彈簧處于自由長(zhǎng)度.現(xiàn)框架與小物塊共同以速度v₀沿光滑水平面向左勻速滑動(dòng).

(1)若框架與墻壁發(fā)生瞬間碰撞后速度為0且與墻壁間不黏連，求框架剛要脫離墻壁時(shí)小物塊速度的大小和方向；

(2)在(1)情形下，框架脫離墻壁后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧彈性勢(shì)能的最大值E_pm;

(3)若框架與墻壁發(fā)生瞬間碰撞，立即反彈，在以后過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能為 mv₀²，求框架與墻壁碰撞時(shí)損失的機(jī)械能ΔE₁;

(4)在(3)情形下試判定框架與墻壁能否發(fā)生第二次碰撞.若不能，說(shuō)明理由．若能，試求出第二次碰撞時(shí)損失的機(jī)械能ΔE₂.(設(shè)框架與墻壁每次碰撞前后速度大小之比不變)

Answer 1

(1)框架與墻壁發(fā)生碰撞后,小物塊壓縮彈簧,當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí),小物塊的速度大小為v₀,方向向右,框架離開(kāi)墻壁.                                                     

(2)在(1)情形下,當(dāng)物塊與框架達(dá)到共同速度v時(shí),彈性勢(shì)能最大.由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得mv₀=(m+M)v①                                                             

    E_pm=mv₀²-(m+M)v²                                               ②

    由①②式得E_pm=mv₀².                                                

(3)設(shè)框架與墻壁第一次碰撞后反彈速度為v₁,以后達(dá)到的共同速度為v′,則Mv₁-mv₀=(m+M)v′                                                       ③

    mv₀²+Mv₁²-(m+M)v²=mv₀²                                     ④

    由③④式解得v₁=,v′=0                                    

    則ΔE₁=M(v₀²-v₁²)=mv₀².                                           

(4)設(shè)框架反彈后,當(dāng)彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí),框架和物塊的速度分別為v₁²、v₂²,則

    Mv₁′-mv₂′=Mv₁-mv₀                                                    ⑤

    mv₂′²+Mv₁′²=Mv₁²+mv₀²                                       ⑥

    由⑤⑥式解得v₁=,v₂′=v₀

    框架在往復(fù)運(yùn)動(dòng)中位移大小相等,因此能與墻壁發(fā)生第二次碰撞.              

    設(shè)第二次碰后框架的速度為v₂,由題意得,                              ⑦

    ΔE₂=M(v₁²-v₂²)                                                         ⑧

    由⑦⑧式解得ΔE₂=mv₀².