Question

19．如圖所示，豎直光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R）固定，小球a、b大小相同，質(zhì)量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)，兩球先后以相同速度v通過(guò)軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 速度v至少為2$\sqrt{gR}$時(shí)，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)
• B． 速度v至少為$\sqrt{5gR}$時(shí)，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)
• C． 當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)壓力都大6mg

Answer 1

分析 要使小球能通過(guò)最高點(diǎn)，只要小球的速度大于零即可；當(dāng)向心力等于重力時(shí)，小球?qū)�軌道沒(méi)有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點(diǎn)時(shí)速度，再由機(jī)械能守恒可求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度，及最低點(diǎn)時(shí)所需要的向心力，即可求得最低點(diǎn)與最高點(diǎn)處壓力的差值．

解答 解：AB、因小球在管內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，則內(nèi)管可對(duì)小球提供向上的支持力，故可看作是桿模型；則小球的最高點(diǎn)的速度只要大于零，小球即可通過(guò)最高點(diǎn)，最高點(diǎn)的臨界速度為0．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得最低點(diǎn)的速度 v=2$\sqrt{gR}$，即v至少為2$\sqrt{gR}$時(shí)，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．故A正確，B錯(cuò)誤；
C、在最高點(diǎn)，當(dāng)小球?qū)�軌道無(wú)壓力時(shí)，則有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，則v₁=$\sqrt{gR}$．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，$\frac{1}{2}$mv₁²+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²，解得v=$\sqrt{5gR}$
則在最高點(diǎn)無(wú)壓力時(shí)，b球所需要的向心力F₁=mg；a最低點(diǎn)所需要的向心力F₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=5mg，小球a比小球b所需向心力大4mg．故C錯(cuò)誤．
D、只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球在最高點(diǎn)的速度大于$\sqrt{gR}$，小球所受的彈力方向向下，在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)₁+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，在最低點(diǎn)有：F₂-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，結(jié)合上題的結(jié)果可得F₂-F₁=6mg，則壓力之差都等于6mg．故D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，若是用繩拴著，只有重力小于等于向心力時(shí)，小球才能通過(guò)最高點(diǎn)；而用桿或在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球，只要速度大于零，小球即可通過(guò)最高點(diǎn)．