Question

（2009?宜昌模擬）如圖所示，相距2L的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個方向相下方的電場界勻強電場，其中PT上方的電場E₁豎直向下，下方的電場E₀豎直向上，PQ上連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子，依次以相同的初速度v₀．垂直射入E₀中，PQ=L．若從Q點射入的粒子恰從M點水平射出，其軌跡如圖，MT=

L

2

．不計粒子的重力及它們間的相互作用．試求：
（1）E₀與E₁的大��；
（2）若從M點射出的粒子恰從中點S孔垂直射入邊長為a的正方形容器中，容器中存在如圖所示的勻強磁場，已知粒子運動的半徑小于a．欲使粒子與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出（粒子與絕緣壁碰撞時無能量和電量損失），求磁感應(yīng)強度B應(yīng)滿足的條件？
（3）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能從CD邊水平射出，這些入射點到P點的距離應(yīng)滿足的條件？

Answer 1

分析：（1）粒子在兩電場中做類平拋運動，由圖可得出粒子在兩電場中的運動情況；分別沿電場方向和垂直電場方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場強度的大��；
（2）粒子進入磁場時做圓周運動，由題意可知其運動的臨界半徑值，再由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強度．
（3）設(shè)粒子第一次達PT直線用時△t，水平位移為△x，豎直位移為△y，推導(dǎo)出△x和△y與時間△t的關(guān)系式，再分兩種情況進行討論：1、若粒子從E₁電場垂直CD射出電場；2、若粒子從E0電場垂直CD射出電場．

解答：解：（1）設(shè)粒子在E₀和E₁的時間分別為t₁與t₂，到達R時豎直速度為v_y，則：
由s=

1

2

at²、v=at及F=qE=ma得：
  L=

1

2

a₁t

2 1

=

1

2

qE 0

m

t

2 1

  ①
 

L

2

=

1

2

a2t

2 2

=

1

2

qE 1

m

t

2 2

  ②
 v_y=

qE0

m

t1=

qE1

m

t2   ③
  v₀（t₁+t₂）=2L　　④
上述三式聯(lián)立得：E₁=2E₀，E₀=

9m v 2 0

8qL

即　E₁=

9m v 2 0

4qL

（2）欲使粒子仍能從S孔射出，粒子的運動軌跡是如圖所示
的情形，粒子運動的半徑為R₁
則　R₁=

a

2(2n+1)

，n=0，1，2…
又　qv₀B₁=

mv   2 0

R1

解得：B₁=

2(2n+1)mv0

qa

，n=0，1，2，3…
（3）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂ 　則PR=2RT
設(shè)粒子第一次達PT直線用時△t，水平位移為△x，則
△x=v₀△t
△y=

1

2

qE0

m

(△t) 2
討論：
1、若粒子從E₁電場垂直CD射出電場，則
 （3n+1）△x+

△x

2

=2L�。╪=0，1，2，3…）
得：△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

4L

3(2n+1)v0

) 2=

L

(2n+) 2

（n=0，1，2，3…）
2、若粒子從E0電場垂直CD射出電場，則
  3k△x=2L�。╧=1、2、3、…）
得△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

2L

3kv0

) 2=

L

4k 2

（k=1、2、3、…）
答：
（1）E₀與E₁的大小分別為

9m v 2 0

8qL

和

9m v 2 0

4qL

；
（2）磁感應(yīng)強度B應(yīng)滿足的條件是B₁=

2(2n+1)mv0

qa

，n=0，1，2，3…．
（3）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能從CD邊水平射出，這些入射點到P點的距離應(yīng)滿足的條件是：
 1、若粒子從E₁電場垂直CD射出電場，則
△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

4L

3(2n+1)v0

) 2=

L

(2n+) 2

（n=0，1，2，3…）
 2、若粒子從E0電場垂直CD射出電場，則
△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

) 2=

1

2

qE0

m

(

2L

3kv0

) 2=

L

4k 2

（k=1、2、3、…）．

點評：帶電粒子在電場磁場中的運動要把握其運動規(guī)律，在電場中利用幾何關(guān)系得出其沿電場．和垂直于電場的運動規(guī)律；而在磁場中也是要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑．