Question

7．如圖所示，兩根平行放置的金屬導(dǎo)軌COD、C′O′D′，導(dǎo)軌OC，O′C′部分粗糙，處在同一水平面內(nèi)，其空間氣方向水平向左、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=$\frac{25}{8}$T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，導(dǎo)軌OD，O′D′部分光滑且足夠長(zhǎng)，與水平面成30°，其空間有方向垂直于導(dǎo)軌向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，OO′的連線垂直于OC、O′C′，金屬桿M垂直導(dǎo)軌放置在OC段處，金屬桿N垂直導(dǎo)軌放置在OD段上且距離O點(diǎn)足夠遠(yuǎn)處，己知導(dǎo)軌間相距d=1m，金屬桿與水平導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，兩桿質(zhì)量均為m=1kg，電阻均為R=0.5Ω；
（1）若金屬桿N由靜止釋放，求其沿導(dǎo)軌OD下滑的最大速度v_m：
（2）若使金屬桿N在平行導(dǎo)軌的外力F的作用下，由靜止開始沿導(dǎo)軌向下做加速度a=2m/s²的勻加速運(yùn)動(dòng)，求t=2s時(shí)的外力F；
（3）在第（2）問中，金屬桿N運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也給金屬桿M向左的初速度v₁=4m/s，求當(dāng)金屬桿M停止速度時(shí)，金屬桿N沿OD下滑的距離．

Answer 1

分析 （1）金屬桿N由靜止釋放，先做變加速運(yùn)動(dòng)，最終做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．根據(jù)平衡條件和安培力與速度的關(guān)系式，求解最大速度．
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v=at、法拉第定律、歐姆定律求出t=2s時(shí)的感應(yīng)電流，再牛頓第二定律和安培力公式求外力F．
（3）對(duì)金屬桿M，根據(jù)牛頓第二定律列式，運(yùn)用積分法求M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求得金屬桿N沿OD下滑的距離．

解答 解：（1）當(dāng)金屬桿N勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大．則有
    mgsin30°=B₂Id
又 I=$\frac{E}{2R}$，E=B₂dv_m；
聯(lián)立得 v_m=$\frac{mgR}{{B}_{2}^{2}x2gzcec^{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得 v_m=5m/s
（2）t=2s時(shí)，金屬桿N的速度為 v=at=2×2=4m/s
產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=B₂dv
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{2R}$
N所受的安培力 F_安=B₂dI
聯(lián)立解得 F_安=4N
根據(jù)牛頓第二定律得 F+mgsin37°-μmgcos37°-F_安=ma
代入數(shù)據(jù)解得 F=3.2N
（3）金屬桿N運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也給金屬桿M向左的初速度v₁=4m/s，對(duì)M桿有：
   μ（B₁Id+mg）=ma_M
又 I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{{B}_{2}dat}{2R}$
整理得  μ（$\frac{{B}_{1}{B}_{2}3p2dbur^{2}at}{2R}$+mg）=ma_M
代入得：a_M=4+2.5t
M桿作加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，作出M桿加速度與時(shí)間的圖象，如圖，可知圖中圍成的面積是M桿速度的變化量，當(dāng)M桿停止時(shí)，速度的改變量大小為 4m/s．
設(shè)M桿經(jīng)過時(shí)間t恰好停止運(yùn)動(dòng)，則$\frac{1}{2}$（4+4+2.5t）×t=v₁=4
解得：t=0.8s
所以當(dāng)金屬桿M停止速度時(shí)，金屬桿N沿OD下滑的距離為 x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×0．{8}^{2}$m=0.64m
答：
（1）沿導(dǎo)軌OD下滑的最大速度v_m是5m/s．
（2）t=2s時(shí)的外力F是3.2N．
（3）當(dāng)金屬桿M停止速度時(shí)，金屬桿N沿OD下滑的距離為0.64m．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)問題，離不開力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系的分析、功和能關(guān)系的分析．對(duì)M桿，要正確分析其加速度變化情況，通過作a-t圖象求時(shí)間是解決本題的關(guān)鍵．