Question

15．在科學(xué)研究中常用電場(chǎng)和磁場(chǎng)來(lái)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示是一種電荷擴(kuò)束裝置，它由粒子源、加速電場(chǎng)、擴(kuò)束電場(chǎng)組成，其工作原理可簡(jiǎn)化為如下過(guò)程：粒子源產(chǎn)生的同種帶正電粒子（粒子重力忽略不計(jì)）經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，以速度v₀連續(xù)不斷地沿平行金屬板A和B的方向從兩極板正中央射入勻強(qiáng)擴(kuò)束電場(chǎng)，已知金屬板長(zhǎng)為L(zhǎng)，相距為d．

（1）當(dāng)兩板電壓U₁=U₀時(shí)，粒子恰好打在下極板B的中點(diǎn)，求帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若AB間加如圖乙所示的方波形，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，從t=0開始，前$\frac{T}{3}$內(nèi)U_AB=$\frac{{U}_{0}}{2}$，后$\frac{2T}{3}$內(nèi)U_AB=-$\frac{{U}_{0}}{4}$，上述粒子仍然以速度v₀沿原來(lái)方向持續(xù)射入電場(chǎng)，求射出電場(chǎng)時(shí)粒子束的寬度D；
（3）若緊貼極板右側(cè)建立xOy坐標(biāo)系，O點(diǎn)為極板右側(cè)的中點(diǎn)，在坐標(biāo)系的第Ⅰ、Ⅳ象限某區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)圓形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于xOy坐標(biāo)平面，要使從最下方射出的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（2d，2d）的P點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最大值．

Answer 1

分析 （1）粒子在板中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向不受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力作用下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解即可；
（2）根據(jù)粒子在電場(chǎng)方向做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，可分析出粒子經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，在豎直方向速度的變化為零，作出粒子在不同時(shí)刻進(jìn)入偏專磁場(chǎng)豎直方向速度隨時(shí)間變化的圖象，根據(jù)圖象得出偏轉(zhuǎn)最大時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)間，再根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)求解相關(guān)結(jié)論即可．
（3）因?yàn)榱Ｗ釉陔妶?chǎng)中偏轉(zhuǎn)時(shí)，豎直方向的速度變化量為零，故粒子最終都水平方向離開電場(chǎng)，離開電場(chǎng)后粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，根據(jù)題意作出最下方粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)軌跡求得粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀打在B板中點(diǎn)，
沿極板方向有：$\frac{L}{2}={v}_{0}{t}_{0}$…①
垂直極板方向有：$\frac{1}{2}d=\frac{q{U}_{0}}{2md}{t}_{0}^{2}$…=②
解得：$\frac{q}{m}=\frac{43n3xvrt^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$…③
（2）沿極板方向粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，粒子通過(guò)兩板時(shí)間：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=T$…④
在任一時(shí)刻射入的粒子都要在$\frac{{U}_{0}}{2}$的電壓下加速$\frac{T}{3}$，在$\frac{-{U}_{0}}{4}$的電壓下加速$\frac{2T}{3}$，粒子射出電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向上的速度v_y=0，因此射出電場(chǎng)粒子的速度與極板平行，大小仍為v₀．…=⑤
不同時(shí)刻從O₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)方向的速度v_y隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示．

可以確定在t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子射出時(shí)向下的偏距最大，$t=nT+\frac{1}{3}T$ 時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子射出時(shí)向上的偏距最大，并且向上向下的最大偏距大小相等．
${y}_{max}=\overline{{v}_{y}}T$…⑥
$\overline{{v}_{y}}=\frac{{U}_{0}q}{4dm}g\frac{T}{3}$⑦
射出電場(chǎng)時(shí)粒子束的寬度D=2y_max…⑧
解得：$D=\frac{2}{3}d$…⑨
（3）所有粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度方向都平行于x軸，大小為v₀．
如圖：

當(dāng)從最下方射出的粒子沿圖中虛線所示的路徑經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)半徑最小，并且有：
$2{r}_{min}=2d+\fractlp99tf{3}$…⑩
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r，則：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$…⑪
由⑩、⑪兩式可以解得磁感應(yīng)強(qiáng)度有最大值：${B}_{max}=\frac{6m{v}_{0}}{7dq}$=$\frac{3{U}_{0}{L}^{2}}{14{v}_{0}v79hhvn^{3}}$…⑫
答：（1）帶電粒子的比荷為$\frac{4jjzfh7t^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$
（2）射出電場(chǎng)時(shí)粒子束的寬度為$\frac{2}{3}d$
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最大值為$\frac{3{U}_{0}{L}^{2}}{14{v}_{0}ff3lxjb^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，電荷在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是運(yùn)動(dòng)的合成與分解；電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑