Question

12．在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物塊B，物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，L為2.0m，凹槽與物塊的質量均為m，兩者之間的動摩擦因數μ為0.03，開始時物塊靜止，凹槽以v₀=6m/s初速度向右運動，設物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失，且碰撞時間不計．g取10m/s²，求：
（1）物塊與凹槽相對靜止的速度？
（2）從凹槽開始運動到兩者相對靜止物塊與左側槽壁碰撞的次數？
（3）從凹槽開始運動到兩者剛相對靜止所經歷的時間？

Answer 1

分析 （1）碰撞過程中物塊與槽組成的系統(tǒng)動量守恒，根據動量守恒定律列式即可求解；
（2）整個過程，對整體根據動能定理列式即可求出物塊與凹槽間的相對路程，再由幾何關系求物塊與左側槽壁碰撞的次數．
（3）設凹槽與物塊碰前的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v₁′、v₂′．根據動量守恒定律及能量守恒定律列式可知，每碰撞一次凹槽與物塊發(fā)生一次速度交換，在同一坐標系上兩者的速度圖線，根據碰撞次數可分為13段，凹槽、物塊的v-t圖象在兩條連續(xù)的勻變速運動圖線間轉換，可用勻變速直線運動規(guī)律求時間．

解答 解：（1）設兩者相對靜止時速度為v．取向右為正方向，由動量守恒定律得：
  mv₀=2mv
解得 v=3m/s
（2）設兩者間相對靜止前，相對運動的路程為S，由動能定理得：
-μmgS=$\frac{1}{2}$（m+m）v²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：S=30m
已知 L=2.0m
可推知物塊與左側槽壁碰撞 n=$\frac{S-\frac{L}{2}}{2L}$+1=$\frac{30-1}{4}$+1=8.25
故碰撞8次                                              
（3）設凹槽與物塊碰前的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v₁′、v₂′．根據動量守恒定律和能量守恒定律有
    mv₁+mv₂=mv₁′+mv₂′
    $\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得  v₁′=v₂，v₂′=v₁
易知每次碰撞都速度交換                              
在同一坐標系上兩者的速度圖線如圖所示，

凹槽、物塊的v-t圖象在兩條連續(xù)的勻變速運動圖線間轉換，故可用勻變速直線運動規(guī)律求時間．
則 v=v₀+at，a=-μg
解得：t=10s
答：
（1）物塊與凹槽相對靜止的速度是3m/s．
（2）從凹槽開始運動到兩者相對靜止物塊與左側槽壁碰撞的次數是8次．
（3）從凹槽開始運動到兩者剛相對靜止所經歷的時間是10s．

點評 本題主要考查了動量守恒定律、動能定理及能量守恒定律的直接應用，要求同學們能正確分析物體的運動情況，能根據題意畫出速度-時間圖象，知道摩擦生熱與兩個物體間的相對路程有關．