Question

水平地面上有一個(gè)半徑為R的圓形軌道，豎直平面上邊中點(diǎn)P離地面高為h，P正下方一點(diǎn)P′位于COA連線上且與軌道圓心O的距離為L(zhǎng)（L＞R），如圖所示．現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出質(zhì)量為m的小球，（小球與小車均視為質(zhì)點(diǎn)，空氣阻力不計(jì)）．求：
（1）使其擊中停在軌道B點(diǎn)的小車（∠AOB=90°），則小球的初速度v₀為多大？
（2）若小車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)順時(shí)針經(jīng)A點(diǎn)時(shí)小球拋出，為使小球能在B處擊中小車，小車的速率v應(yīng)滿足的條件．
（3）若在P、C之間以水平射程為（L+R）的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡制成一光滑軌道，現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球套于其上，由靜止開(kāi)始從軌道P端滑下，重力加速度為g．則當(dāng)其到達(dá)軌道C時(shí)小球重力的功率多大？

Answer 1

分析：（1）沙袋從P點(diǎn)開(kāi)始做的都是平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)在豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)，可以求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)v₀=

S

t

即可求解；
（2）根據(jù)等時(shí)性可以求得小車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，但是要注意周期性，再根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的速度公式即可求解；
（3）下滑過(guò)程沙袋的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的落地時(shí)間為t，則
h=

1

2

gt2得，t=

2h g

，
拋到B點(diǎn)發(fā)生的水平位移為S=

L2+R2

，
v₀=

S

t

解得：v0=

L2+R2

g 2h

（2）根據(jù)時(shí)間相等的條件t=

T

4

+nT=

2h g

 小車速度v_車=

2πR

T

求得v_車=

(1+4n)

2

πR

g 2h

  （n=0，1，2，…）         
（3）下滑過(guò)程小球的機(jī)械能守恒，mgh=

1

2

mvC2，解得V_C=

2gh

設(shè)v_C與水平方向夾角為θ，
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：tanθ=

vy

vx

=

2y

x

，
  sinθ=

2y

x2+4y2

則重力的瞬時(shí)功率 PG=mgvcsinθ=mg?

2gh

?

2h

(L+R)2+4h2

=2mgh

2gh (L+R)2+4h2

答：（1）使其擊中停在軌道B點(diǎn)的小車（∠AOB=90°），則小球的初速度v₀為

L2+R2

g 2h

；
（2）若小車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)順時(shí)針經(jīng)A點(diǎn)時(shí)小球拋出，為使小球能在B處擊中小車，小車的速率v應(yīng)滿足v_車=

(1+4n)

2

πR

g 2h

 （n=0，1，2，…）．
（3）當(dāng)其到達(dá)軌道C時(shí)小球重力的功率為2mgh

2gh (L+R)2+4h2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的考查，在分析第二問(wèn)的時(shí)候，要考慮到小車運(yùn)動(dòng)的周期性，小車并一定是經(jīng)過(guò)

1

4

圓周，也可以是經(jīng)過(guò)了多個(gè)圓周之后再經(jīng)過(guò)

1

4

圓周后恰好到達(dá)B點(diǎn)，這是同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常忽略而出錯(cuò)的地方．