Question

如圖所示，帶有軌道的凹槽放在水平面上，軌道ABDO處于豎直平面內(nèi)，AB是半徑為R的

1

4

圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為R的半圓軌道．一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，由A點(diǎn)進(jìn)入軌道．已知小球的質(zhì)量為m，凹槽的質(zhì)量為M，重力加速度為g．
（1）若凹槽固定在水平面內(nèi)，且軌道光滑，求小球到達(dá)B點(diǎn)的速度
（2）若凹槽放在光滑水平面內(nèi)，且軌道光滑，求小球通過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力
（3）若凹槽放在光滑水平面內(nèi)，小球恰能通過O點(diǎn)，求小球通過軌道時(shí)克服阻力做的功？

Answer 1

分析：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解即可；
（2）小球和凹槽系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律列式求解出小球和凹槽的速度，根據(jù)向心力公式列式求解；
（3）小球和凹槽系統(tǒng)在水平方向不受外力，動(dòng)量守恒；在最高點(diǎn)，重力提供向心力；再對(duì)整個(gè)過程運(yùn)用功能關(guān)系列式求解．

解答：解：（1）由機(jī)械能守恒：mg（H+R）=

1

2

m

v

2 B

v_B=

2g(H+R)

即小球到達(dá)B點(diǎn)的速度為

1

2

m

v

2 B

．
（2）由動(dòng)量守恒定律：0=mv₁-Mv₂
由機(jī)械能守恒：mg（H+R）=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

由圓周運(yùn)動(dòng)：若在B點(diǎn)左側(cè)
N-mg=m

(v1+v2)2

R

解得
N=mg+

2m(M+m)g(H+R)

MR

由牛頓第三定律：N’=N=mg+

2m(M+m)g(H+R)

MR

若在B點(diǎn)右側(cè)  
N-mg=N-mg=m

(v1+v2)2

0.5R

解得
N=mg+

4m(M+m)g(H+R)

MR

由牛頓第三定律：N’=N=mg+

4m(M+m)g(H+R)

MR

即小球通過B點(diǎn)左側(cè)時(shí)對(duì)軌道的壓力為mg+

2m(M+m)g(H+R)

MR

，小球通過B點(diǎn)右側(cè)時(shí)對(duì)軌道的壓力mg+

4m(M+m)g(H+R)

MR

．
（3）由動(dòng)量守恒定律：0=mv₁′-Mv₂′
由圓周運(yùn)動(dòng)：mg=m

(v1′+v2′)2

0.5R

由能量守恒定律：mgH=

1

2

m

v′

2 1

+

1

2

M

v′

2 2

+W_f
解得
W_f=mgH-

1

4

mgR

M

M+m

故小球通過軌道時(shí)克服阻力做的功為mgH-

1

4

mgR

M

M+m

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵在于對(duì)凹槽與小球系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和功能關(guān)系列方程，同時(shí)在最高點(diǎn)，合力提供向心力．