Question

12．如圖所示，半徑為R的光滑圓弧軌道放置在豎直平面內(nèi)，A、C是軌道的兩個端點，A點與圓心O等高，C點和圓心O點的連線與豎直方向的夾角θ=60°，B點處在圓弧軌道的最低點．現(xiàn)有兩個半徑均為r（r＜R）的小球1和小球2，其中小球2靜止在B點．把小球1從A點由靜止釋放，到達最低點B處與小球2發(fā)生彈性碰撞，為使得小球2能離開圓弧軌道，小球2與小球1的質(zhì)量之比$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$應滿足什么條件？

Answer 1

分析 小球1從A到B的過程中，機械能守恒，據(jù)此求出到達B處獲得的速度，在B處小球1和小球2發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒定律以及機械能守恒定律求出碰撞后B的速度，小球2從B到C得過程中，機械能守恒，要保證在C點的速度大于0，據(jù)此求解即可．

解答 解：小球1從A到B的過程中，機械能守恒，到達B處獲得的速度為v₁，則有：
${m}_{1}gR=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
在B處小球1和小球2發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰撞后的速度分別為v₁′和v₂′，以v₁速度方向為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂′，
根據(jù)機械能守恒定律得：
${\frac{1}{2}m}_{1}{{v}_{1}}^{2}={\frac{1}{2}m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+{\frac{1}{2}m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$
小球2從B到C得過程中，機械能守恒，要保證在C點的速度大于0，則有：
$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}＞{m}_{2}gR（1-cosθ）$
聯(lián)立解得：$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}＜2\sqrt{2}-1$
答：為使得小球2能離開圓弧軌道，小球2與小球1的質(zhì)量之比$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$應滿足$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}＜2\sqrt{2}-1$．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律以及動量守恒定律的直接應用，知道彈性碰撞過程中，機械能守恒，難度適中．