Question

【題目】如圖所示，Ⅰ、Ⅲ區(qū)域（足夠大）存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，虛線MN、PQ分別為磁場(chǎng)區(qū)域邊界，在Ⅱ區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面向里的半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)邊界恰好與邊界MN、PQ相切，S、T為切點(diǎn)，A、C為虛線MN上的兩點(diǎn)，且AS=CS=R，有一帶正電的粒子以速度v沿與邊界成30°角的方向從C點(diǎn)垂直磁場(chǎng)進(jìn)入Ⅰ區(qū)域，隨后從A點(diǎn)進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，一段時(shí)間后粒子能回到出發(fā)點(diǎn)，并最終做周期性運(yùn)動(dòng)，已知Ⅱ區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2為Ⅰ區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的6倍，Ⅲ區(qū)域與Ⅰ區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，不計(jì)粒子的重力。求：

(1)粒子第一次進(jìn)入Ⅱ區(qū)域后在Ⅱ區(qū)域中轉(zhuǎn)過的圓心角；

(2)粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到出發(fā)點(diǎn)所經(jīng)歷的總時(shí)間。

Answer 1

【答案】(1)120°(2)

【解析】

(1)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系得，

半徑

粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為

粒子從點(diǎn)進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且速度延長(zhǎng)線剛好過Ⅱ區(qū)域圓形磁場(chǎng)的圓心，接著在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，離開時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線仍然過圓心

設(shè)軌跡半徑為，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律知

得

故

即

連接，得

得

故此粒子第一次進(jìn)入Ⅱ區(qū)域后在Ⅱ區(qū)域轉(zhuǎn)過的圓心角為

(2)粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時(shí)，速度方向仍與邊界成30°角，故此粒子的軌跡圖左右對(duì)稱，上下對(duì)稱，粒子在一個(gè)周期內(nèi)，在Ⅰ、Ⅲ區(qū)域總共要經(jīng)歷兩次圓周運(yùn)動(dòng)過程，每次轉(zhuǎn)過的圓心角均為

所用總時(shí)間為

在Ⅱ區(qū)域要經(jīng)歷兩次圓周運(yùn)動(dòng)過程，每次轉(zhuǎn)過的圓心角均為，所用時(shí)間為

在Ⅱ區(qū)域要經(jīng)過4次勻速直線運(yùn)動(dòng)過程，每次運(yùn)動(dòng)的距離為

所用總時(shí)間

故此粒子在一個(gè)周期內(nèi)所經(jīng)歷的總時(shí)間為