Question

13．如圖所示，AB是傾角θ=60⁰的粗糙直軌道，BCD是半徑R=0.35m的光滑豎直圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，一個(gè)質(zhì)量m=0.4kg（可以看作質(zhì)點(diǎn)）的物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)?=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，取g=10m/s²．
（1）求物塊在斜面AB上滑動(dòng)時(shí)受到的摩擦力大小；
（2）若物塊在P處由靜止釋放，求物塊在軌道上足夠多次地來回滑動(dòng)后通過最低點(diǎn)E處時(shí)受到的支持力的大小；
（3）若物塊在P處以某一初速度沿斜面向下滑動(dòng)，恰好能通過圓弧最高點(diǎn)D，求初速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）通過垂直斜面方向受力平衡求得支持力，進(jìn)而求得摩擦力；
（2）通過分析得到最終物塊獲得最大重力勢能的點(diǎn)，然后由機(jī)械能守恒求得在E點(diǎn)的速度，即可由牛頓第二定律求得支持力；
（3）先由牛頓第二定律求得物塊在D點(diǎn)的速度，然后通過對(duì)PD運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）由物塊在垂直斜面方向受力平衡可得：物塊在斜面AB上滑動(dòng)時(shí)受到斜面的支持力為：
F_N=mgcos60°=2N；
故物塊在斜面AB上滑動(dòng)時(shí)受到的摩擦力為：
$f=μ{F}_{N}=\sqrt{3}N$；
（2）由能量守恒可知物塊在斜面上滑動(dòng)，摩擦力做負(fù)功，動(dòng)能減小，故最后物塊將剛好不能沖上斜面，而在B點(diǎn)以下圓弧往復(fù)運(yùn)動(dòng)，且在B點(diǎn)的速度正好為零；
故由物塊在圓弧上運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒可得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}=mg（R-Rcos60°）=\frac{1}{2}mgR$；
再由牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{E}}^{2}}{R}=mg$
解得：F_N=2mg=8N；
（3）物塊恰好能通過圓弧最高點(diǎn)D，那么由牛頓第二定律可得：
$mg=\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}$；
對(duì)物塊從P到D的運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：
$-mgR-f\frac{Rcos60°}{sin60°}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$；
解得：${v}_{p}=\sqrt{{{v}_{D}}^{2}+2gR+\frac{2fRcot60°}{m}}$=$\sqrt{3gR+\frac{2fRcot60°}{m}}=3.5m/s$；
答：（1）物塊在斜面AB上滑動(dòng)時(shí)受到的摩擦力大小為$\sqrt{3}N$；
（2）若物塊在P處由靜止釋放，則物塊在軌道上足夠多次地來回滑動(dòng)后通過最低點(diǎn)E處時(shí)受到的支持力的大小為8N；
（3）若物塊在P處以某一初速度沿斜面向下滑動(dòng)，恰好能通過圓弧最高點(diǎn)D，那么初速度的大小為3.5m/s．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．