Question

(20分)一根長為L(以厘米為單位)的粗細(xì)均勻的、可彎曲的細(xì)管，一端封閉，一端開口，處在大氣中，大氣的壓強(qiáng)與H厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，已知管長L＞H.現(xiàn)把細(xì)管彎成L形，如圖所示.假定細(xì)管被彎曲時，管長和管的內(nèi)徑都不發(fā)生變化.可以把水銀從管口徐徐注入細(xì)管而不讓細(xì)管中的氣體泄出.當(dāng)細(xì)管彎成L形時，以l表示其豎直段的長度，問l取值滿足什么條件時，注入細(xì)管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值(用水銀柱的長度表示).

 

Answer 1

解析：

開始時豎直細(xì)管內(nèi)空氣柱長度為L，壓強(qiáng)為H(以cmHg為單位)，注入少量水銀后，氣柱將因水銀柱壓力而縮短.當(dāng)管中水銀柱長度為x時，管內(nèi)空氣壓強(qiáng)p=(H+x)，根據(jù)玻意耳定律，此時空氣柱長度(1)

　　空氣柱上表面與管口的距離(2)

　　開始時x很小，由于L＞H，故即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至d=x(即水銀柱上表面與管口相平)時為止.何時水銀柱表面與管口相平，可分下面兩種情況討論.

　　1.水銀柱表面與管口相平時，水銀柱未進(jìn)入水平管

　　此時水銀柱的長度x≤l，由玻意耳定律有

　　(H+x)(L-x)=HL　　(3)

　　由(3)式可得x=L-H　　(4)

　　由此可知，當(dāng)l≥L-H時，注入的水銀柱的長度x的最大值x_max=L-H　　(5)

　　2.水銀柱表面與管口相平時，一部分水銀進(jìn)入水平管

　　此時注入水銀柱的長度x＞l，由玻意耳定律有

　　(H+l)(L-x)=HL　　(6)

　　　　(7)

　　　　(8)

　　由(8)式得l＜L-H，或L＞H+l　　(9)

　　　　(10)

　　即當(dāng)l＜L-H時，注入水銀柱的最大長度x＜x_max.

　　由上討論表明，當(dāng)l≥L-H時，可注入的水銀量為最大，這時水銀柱的長度為x_max，即(5)式.

　　評分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)

　　正確論證l≥L-H時，可注入的水銀量最大，占13分.求出最大水銀量占7分.若論證的方法與參考解答不同，只要正確，同樣給分.