Question

如圖甲所示，水平直線(xiàn)MN下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其變化規(guī)律如圖乙所示，電場(chǎng)強(qiáng)度E0=

22500

π

V/m，現(xiàn)將一重力不計(jì)、比荷

q

m

=10⁶ C/kg的帶電粒子從電場(chǎng)中的C點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)t1=

π

15

×10-5s的時(shí)間粒子通過(guò)MN上的D點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B按圖丙所示規(guī)律變化．（計(jì)算結(jié)果均可保留π）

（1）求粒子到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速率；
（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B_l=0.3T時(shí)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期和半徑；
（3）若在距D點(diǎn)左側(cè)d=21cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板ab，求粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板時(shí)所用的時(shí)間；
（4）欲使粒子垂直打在擋板ab上，求擋板ab與D點(diǎn)的距離所滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中被加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)與力的關(guān)系可求出初速度．當(dāng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可算出軌道半徑與周期．
（2）當(dāng)粒子被電場(chǎng)直線(xiàn)加速后垂直進(jìn)入磁場(chǎng)做半圓運(yùn)動(dòng)，接著又減速進(jìn)入電場(chǎng)后再被加速進(jìn)入磁場(chǎng)做半徑不同的半圓運(yùn)動(dòng)，這樣周而復(fù)始最終垂直打到擋板上．
（3）根據(jù)到擋板的距離可以確定完成幾個(gè)周期及在電場(chǎng)中加速與減速的時(shí)間，最終求出總時(shí)間．
（4）粒子有可能半徑大的垂直打到擋板，也可能半徑小的打到板上；也可能完成

1

4

后打到擋板上，也可能完成1

1

4

，也可能更多．從而根據(jù)垂直打到擋板的要求可確定滿(mǎn)足間距的條件．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有
qE=ma 
v₀=at₁  
解得v0=1.5×104m/s
 （2）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.3T時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₁，
則B1qv0=m

v 2 0

r1

 
T1=

2πm

B1q

 
解得r₁=5cm
T₁=

2π

3

×10-5s
（3）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.5T時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)半徑為r₂，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₂，
則B2qv0=m

v 2 0

r2

 
T2=

2πm

B2q

 
解得r₂=3cm 
T₂=

2π

5

×10-5s 
由以上計(jì)算可知，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為如圖所示的周期運(yùn)動(dòng)，每一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的水平距離為
S=2（r₁+r₂）=16cm 
所以粒子運(yùn)動(dòng)1個(gè)整數(shù)周期后余下的距離為△d=d-s=5cm=r₁ 
粒子從C點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間為t=5t1+

T1

2

+

T2

2

+

T1

4

 
解得t=3.24×10^-5s

（4）欲使粒子垂直打在擋板ab上，擋板ab距D點(diǎn)的距離應(yīng)滿(mǎn)足
d=nr₁+（n-1）r₂
   解得d=（8n-3）×10^-2m（n=1，2，3，…） 
或者  d=（n+1）r₁+nr₂  
    解之得  d=（8n+5）×10^-2m（n=0，1，2，…）

點(diǎn)評(píng)：考查牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的同時(shí)，也體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性與周期性．注意當(dāng)帶電粒子在電場(chǎng)中加速與減速時(shí)間相等，由于洛倫茲力不做功，所以速率不變，但磁場(chǎng)不同，則運(yùn)動(dòng)半徑也不同．