Question

10．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，在第I象限內(nèi)有平行于x軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿+x軸方向，在第II象限的三角形區(qū)域PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直xoy平面向里，一個(gè)帶負(fù)電的粒子總是從P點(diǎn)沿+y軸方向射入磁場(chǎng)．已知P點(diǎn)坐標(biāo)為（-L，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-L，L），M點(diǎn)左邊為（0，L），粒子的質(zhì)量為m，電荷量為-q，不計(jì)粒子重力．

（1）若粒子從P點(diǎn)射入的速度大小為$\frac{qLB}{m}$，求粒子從P點(diǎn)射入到剛進(jìn)入電場(chǎng)這段時(shí)間內(nèi)平均速度的大小和方向；
（2）若粒子從P點(diǎn)以某一速度射入，最終從Q點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，此過(guò)程中，粒子在電場(chǎng)中電勢(shì)能變化的最大值為多少？
（3）若粒子從P點(diǎn)射入后，最終能從x軸上P、O點(diǎn)間射出，則粒子從P點(diǎn)射入的最大速度為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到半徑公式，結(jié)合已知求出粒子半徑r，利用周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求出粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)幾何關(guān)系求出其運(yùn)動(dòng)的位移，與時(shí)間做比即可求出平均速度的大小，位移的方向即為平均速度的方向；
（2）畫(huà)出粒子軌跡過(guò)程圖，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出粒子軌跡過(guò)程圖，據(jù)洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合即可求出粒子速度最大值，進(jìn)而可求粒子動(dòng)能的最大值，而動(dòng)能最小值為0，進(jìn)而可以求出粒子動(dòng)能的變化量，再根據(jù)能量守恒可知電勢(shì)能和動(dòng)能的和為一定值，電勢(shì)能改變量的最大值即為動(dòng)能該變量的最大值；
（3）找出粒子能從x軸上P、O點(diǎn)間射出的臨界條件，即：軌跡恰好與邊界PQ、邊界QM相切，據(jù)洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合，即可求出粒子從P點(diǎn)射入的最大速度．

解答 （1）如圖甲所示，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：$qvB=m\frac{v^2}{r}⇒r=\frac{mv}{Bq}$①
$T=\frac{2πr}{v}⇒T=\frac{2πm}{Bq}$②
由①式代入已知條件可得r=L③
粒子從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)到M點(diǎn)，
位移：$s=\sqrt{2}r$④
時(shí)間：$t=\frac{1}{4}T$⑤
則粒子的平均速度：$\overline v=\frac{s}{t}$⑥
由②③④⑤⑥解得：$\overline v=\frac{{2\sqrt{2}qBL}}{πm}$
平均速度方向由P點(diǎn)指向M點(diǎn)
（2）如圖乙所示，

分析可知，粒子從Q點(diǎn)射出的速度方向必沿+y方向，${r_1}=\frac{L}{2}$⑦
由①⑦聯(lián)立解得：${v_1}=\frac{qBL}{2m}$⑧
電勢(shì)能最大時(shí)，粒子動(dòng)能為零，設(shè)電勢(shì)能改變量為△E_p，根據(jù)能量守恒定律可得：$△{E_p}=\frac{1}{2}mv_1^2-0$⑨
由⑧⑨聯(lián)立解得：$△{E_p}=\frac{{{q^2}{B^2}{L^2}}}{8m}$
（3）如圖丙所示，

分析可知，粒子從P、O間以最大速度射出需滿足：L=3r₂⑩
由①⑩聯(lián)立解得：${v_2}=\frac{qBL}{3m}$
答：（1）若粒子從P點(diǎn)射入的速度大小為$\frac{qLB}{m}$，粒子從P點(diǎn)射入到剛進(jìn)入電場(chǎng)這段時(shí)間內(nèi)平均速度的大小為$\frac{2\sqrt{2}qBL}{πm}$，方向由P點(diǎn)指向M點(diǎn)；
（2）若粒子從P點(diǎn)以某一速度射入，最終從Q點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，此過(guò)程中，粒子在電場(chǎng)中電勢(shì)能變化的最大值為$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8m}$；
（3）若粒子從P點(diǎn)射入后，最終能從x軸上P、O點(diǎn)間射出，則粒子從P點(diǎn)射入的最大速度為$\frac{qBL}{3m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合的思路解決，粒子在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)中的過(guò)程較為簡(jiǎn)單；第二問(wèn)用到守恒的思想，勢(shì)能和動(dòng)能的和為一定值，動(dòng)能該變量的最大值即為電勢(shì)能改變量的最大值，解題關(guān)鍵是要畫(huà)出粒子軌跡過(guò)程圖，找到臨界幾何條件．