Question

【題目】如圖所示，在xOy平面內(nèi)，第Ⅲ象限內(nèi)的直線OM是電場(chǎng)與磁場(chǎng)的邊界線，OM與x軸負(fù)方向成45°夾角.在+y軸與直線OM的左側(cè)空間存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，在+x軸下方與直線OM的右側(cè)空間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一帶負(fù)電微粒從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向進(jìn)入磁場(chǎng)，第一次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)邊界時(shí)的位置坐標(biāo)是（-L，-L)。已知微粒的電荷量大小為q，質(zhì)量為m，不計(jì)微粒所受重力，微粒最后從+y軸上某點(diǎn)飛出場(chǎng)區(qū)（圖中未畫(huà)出），求：

（1）帶電微粒從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的初速度；

（2）帶電微粒在電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）由幾何關(guān)系求出微粒運(yùn)動(dòng)的半徑，由微粒在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度；（2）微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角和周期可求粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得時(shí)間，當(dāng)微粒第二次進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)由運(yùn)動(dòng)規(guī)律求微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可．

（1）設(shè)微粒從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的初速度為，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r

則有：

由微粒第一次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)A坐標(biāo)是（-L，-L）

由幾何關(guān)系可知：r=L

聯(lián)立解得：

（2）微粒到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，速度方向與OM夾角為45°，即與電場(chǎng)平行．微粒在電場(chǎng)中從A點(diǎn)開(kāi)始向-x方向做減速運(yùn)動(dòng)，后原路返回A點(diǎn)，再在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，即，又

設(shè)微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為，根據(jù)幾何關(guān)系，微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路徑剛好是一個(gè)完整的圓周，所以

根據(jù)對(duì)稱性，微粒到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度方向應(yīng)沿+y方向，此后在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)

從D點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)，設(shè)其加速度為a，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則有qE=ma

從C運(yùn)動(dòng)到D在x方向的位移為

設(shè)微粒從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后做往返運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為，則有

微粒在電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

聯(lián)立以下各式并代入數(shù)據(jù)解得：