Question

12．一玻璃四棱柱ABCD-A′B′C′D′平放在水平桌面上，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a=6$\sqrt{3}$cm的正方形，棱高為h=6cm，現(xiàn)在下底面ABCD中心O處放一點(diǎn)光源，不考慮反射光，玻璃的折射率為$\sqrt{2}$，求上底面A′B′C′D′發(fā)光的面積．（結(jié)果可含π和根號(hào)）

Answer 1

分析 上底面A′B′C′D′發(fā)光的面積即為透光面積，先根據(jù)sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射臨界角C．根據(jù)幾何知識(shí)求發(fā)光面的半徑，再求發(fā)光的面積．

解答 解：根據(jù)折射定律，有 sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得全反射臨界角 C=45°
作出俯視圖如下圖所示．

根據(jù)幾何知識(shí)可得上底面A′B′C′D′發(fā)光面積的半徑 r=h=6cm
如圖所示，cos∠1=$\frac{\frac{1}{2}a}{r}$=$\frac{\frac{1}{2}×6\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得∠1=30°
由對(duì)稱(chēng)性和幾何知識(shí)得：α=90°-2∠1=30°
所以發(fā)光面積為 S=a²-8[$\frac{a}{8}$（a-r）-$\frac{π{r}^{2}}{24}$=ar+$\frac{π{r}^{2}}{3}$
代入數(shù)據(jù)解得 S=（36$\sqrt{3}$+12π）cm²．
答：上底面A′B′C′D′發(fā)光的面積為（36$\sqrt{3}$+12π）cm²．

點(diǎn)評(píng) 解決本題關(guān)鍵要掌握全反射臨界角的含義及公式，靈活運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行解答．